Независимость событий, независ-ть в сов-ти, попарная независ-ть.

Опр-е:Соб.А и В наз-ся независимыми,если их условные* вероятности совпадают с безусловными**.

*P(A|B)=P(A) **P(B|A)=P(B). A-не зависит от В; В-не зависит от А.

Теорема 1. А,В-независимы тогда и только тогда,когда вер-ть произведения равна произведению вероятностей.

АиВ-независимы ---->P(A*B)=P(A)*P(B)

Док-во: Пусть А,В-независимы,т.е * и ** выполнены--->7св-во,P(A*B)=P(A)*P(B|A) {P(B|A)=P(B)} = P(A)*P(B)

Пусть вер-ть произведения равна произведению вер-тей. P(AB)=P(A)*P(B)

P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)*P(B)/P(B)=P(A)--->*

P(B|A)=P(BA)/P(A)=P(B)*P(A)/P(A)=P(B)--->**

Опр-е:соб.АиВ-независимы,если вер-ть произведения равна произведению вероятностей. P(AB)=P(A)*P(B)

Пр.:из колоды 36 карт извлекается одна карта. А-пик В-дама Зависимы ли события?

Р(А)=9/36=1/4 Р(В)=4/36=1/9 Р(АВ)=1/36 Р(А)*Р(В)=1/4*1/9=1/36 Р(АВ)=Р(А)*Р(В) по теор.1 событие АиВ независимы. +100 пустых, 136 карт.

Р(А)=9/136, Р(В)=4/136. Р(АВ)=1/136 Р(А)*Р(В)=9/136*4/136 неравно 1/136 Р(АВ)неравно Р(А)*Р(В) события зависимы.

Теорема 2.Пусть АиВ-зависимы.,тогда 1).Ас- и В-независимы, 2).АиВс- независ, 3).Ас- и Вс- независ.

Док-во:1).Р(Ас-/В)=1-Р(А/В)=1-Р(А)=Р(Ас-). 2).Р(Вс-/А)=1-Р(В/А)=1-Р(В)=Р(Вс-). 3).Р(Ас-/Вс-)=1-Р(В/Ас-)=1-Р(В)=Р(Вс-)

Опр-е 4. Событие А1,...,An наз-ся независ в сов-ти,если вер-ть произведения любых различных событий=произведению их вероятности.

1<=i1<i2<..<ik<=n P(Ai1...Aik)=P(Ai1)....P(Aik).

Опр-е 5. Соб.A1...An наз-ся попарно независ,если вер-ть произведения любых двух событий=произведению вер-тей.

Aпереверн.i,j -для любых индексов. P(Ai*Aj)=P(Ai)*P(Aj)

Попарная независимость-частный случай. Замечание:Из попарной нез-ти не следует независ.сов-ти.

Пр.:Бросается 2 игр.кости. А={Неч.на 1игр.кости} B={неч.на 2} С={неч.Сумма очков}

Р(А)=1/2 Р(В)=1/2 Р(С)=18/36=1/2 Р(АВ)=9/36=1/4 Р(АС)=9/36=1/4 Р(ВС)=9/36=1/4

Р(АВ)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(В) Р(ВС)=1/4=1/2*1/2=Р(В)*Р(С) соб.независимы Р(АС)=1/4=1/2*1/2=Р(А)*Р(С)

А,В,С-попарно независ. Р(АВС)=0 Р(А)Р(В)Р(С)=1/2*1/2*1/2=1/8 - соб-я не явл-ся независ.в сов-ти.

Теорема 3. Формула вер-ти объединения независ.событий. Пусть соб.А1,...,Аn-независ. в сов-ти. А=А1+...+Аn Р(А)=1-(1-Р(А1))*...*(1-Р(An))

док-во: Ас- = (А1*...*Аn)с- = А1с-*...*Аn с-. Р(Ас-)=Р(А1с-*....*Аn с-)=Р(А1с-)*...*Р(An с-)=(1-Р(А1))*...*(1-Р(Аn))

Р(А)=1-Р(Ас-)=1-(1-Р(А))*...*(1-Р(Аn)) Замечание:1.Если А,В-несвм-А,В-завис, (Р(А)неравно0 и Р(В)неравно0) А*В=Оперечеркн. Р(АВ)=0 Р(А)*Р(В)неравно0 2.Если А,В совм. А,В завис и независ. 3.Если А,В-завис, А,В совм и несовм.