Матрица линейного оператора

В силу теоремы 5.4 линейный оператор в конечномерном линейном пространстве однозначно можно задать при помощи образов базисных векторов. Наряду с ядром, образом, дефектом и рангом для линейного оператора имеет место такая характеристика, как матрица этого оператора.

Пусть – базис в конечномерном линейном пространстве (). Тогда по теореме 5.4 для любых векторов существует единственный линейный оператор , переводящий векторы базиса в соответствующие векторы , что можно записать в виде следующей операторной системы:

Разложим векторы через векторы базиса :

где – некоторые числа.

Определение 5.6. Квадратная матрица

,

столбцами которой являются координатные вектор-столбцы векторов в базисе , называется матрицей линейного оператора в базисе .

Следующая теорема позволяет найти координаты образа в базисе через матрицу оператора и координаты прообраза в том же базисе.

Теорема 5.7. Пусть линейный оператор, действующий в линейном пространстве и базис в . Тогда вектор-столбец координат вектора равен произведению

(5.1)

матрицы оператора в данном базисе на вектор-столбец координат вектора в данном базисе.

□ Пусть в базисе линейный оператор имеет матрицу . Разложим векторы через базисные векторы

Учитывая, что образы базисных векторов базиса имеют разложения

,

получим

В силу того, что разложение вектора по базису единственно, получим

что равносильно матричному равенству (5.1). ■

Матрица линейного оператора изменяется, когда изменяется базис линейного пространства. Найдем связь между матрицами линейного оператора в разных базисах этого линейного пространства.

Теорема 5.8 ( о связи матриц линейного оператора в разных базисах ). Пусть , – базисы в линейном пространстве . Матрицы и оператора в базисах , связаны равенством

, (5.2)

где – матрица перехода от базиса к базису .

□ Пусть вектору в базисах , соответствуют вектор-столбцы , а вектору вектор-столбцы . Тогда в силу матричного равенства (5.1), имеем

,

где матрицы линейного оператора в базисах , .

Далее, если есть матрица перехода от к , то используя формулы преобразования координат при переходе от базиса к базису, получим

откуда и следует справедливость равенства (5.2). ■

Теорема 5.9. Определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

□ Пусть оператор в базисах , имеет соответствующие матрицы . Тогда на основании равенства (5.2) и свойств определителей имеем

■

Согласно теореме 5.9 при смене базиса линейного пространства изменяется матрица оператора, а определитель её при этом остается неизменным. Значит, этот определитель характеризует не конкретную матрицу оператора в данном базисе, а сам оператор. Это позволяет ввести следующее определение.

Определение 5.7. Определителем линейного оператора, действующего в линейном пространстве, называется определитель матрицы этого оператора в любом базисе.

Теорема 5.10. Ранг линейного оператора совпадает с рангом матрицы этого оператора.

Пример 5.1. Записать матрицу линейного оператора , заданного по правилу

в базисе , где .

Найти образ, ранг, ядро, дефект, базисы образа и ядра оператора.

Решение. Находим образы векторов :

.

Для составления матрицы линейного оператора в базисе найдем коэффициенты разложения векторов через базисные векторы . Для этого необходимо решить систему уравнений (см. определение матрицы линейного оператора)

Каждое из уравнений этой системы решаем отдельно. Первое уравнение можно переписать в виде

Решая его, получим вектор-столбец координат вектора в базисе :

.

Решая аналогично остальные два уравнения, получим координатные вектор-столбцы векторов в базисе :

, .

В результате матрица линейного оператора в базисе имеет вид

.

Для нахождения ядра линейного оператора необходимо решить однородную систему уравнений с матрицей . Находя ее общее решение, получим ядро оператора, каждый вектор которого имеет вид

.

Очевидно, что размерность ядра (дефект оператора) равна

,

базисный вектор в ядре – вектор-столбец

.

Размерность образа оператора (ранг оператора) равна

.

Для нахождения базиса образа исследуем на линейную зависимость систему векторов и найдем максимальную систему линейно независимых векторов. Составим матрицу и приведём ее к ступенчатому виду (в результате элементарных преобразований нумерация столбцов не изменялась):

Из вида ступенчатой матрицы следует, что базис образа образуют векторы .