Решение. Для того, чтобы решить неравенство на плоскости, надо построить график линии

Для того, чтобы решить неравенство на плоскости, надо построить график линии . Кривая разбивает плоскость на части, в каждой из которых выражение сохраняет свой знак. Выбирая пробную точку в каждой из этих частей, найдем часть плоскости, являющуюся искомым решением неравенства.

1) Построим прямые и , заштрихуем область, в которой . Затем построим параболу и заштрихуем область, содержащую ось симметрии параболы (расположенную внутри параболы); построим прямую и заштрихуем область, лежащую выше прямой. Пересечение всех заштрихованных областей и определит множество точек, представляющих решение рассматриваемой системы.

Рис. 18

 

2) Построим линию, определяемую уравнением . Эта линия представляет собой ту часть окружности или , на которой . Далее построим прямую (). Решением рассматриваемого двойного неравенства является часть плоскости, расположенная между нижней половиной окружности с центром в точке радиуса прямой .

Рис. 19

 

Контрольная работа № 3

Вариант 1.

Задача 1. Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;2), В(-1;3),С(-4;-2). Не находя координаты вершины D, найти:

6) уравнение стороны AD;

7) уравнение высоты BK, опущенной из вершины В на сторону AD;

8) длину высоты BK;

9) уравнение диагонали BD;

10) тангенс угла между диагоналями параллелограмма.

Записать общие уравнения найденных прямых. Построить чертеж.

Задача 2. Даны точки A(1;2;3), B(-1;3;5), C(2;0;4), D(3;-1;2). Найти:

1) общее уравнение плоскости АВС;

2) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости АВС;

3) расстояние от точки D до плоскости ABC;

4) канонические уравнения прямой АВ;

5) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D параллельно прямой AB;

6) общее уравнение плоскости, проходящей через точку D перпендикулярно прямой AB.

Задача 3. Уравнение второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Построить кривую, определяемую этим уравнением.

Задача 4. Кривая задана в полярной системе координат уравнением .

Требуется:

5) найти точки, лежащие на кривой, давая значения через промежуток, равный , начиная от до ;

6) построить полученные точки;

7) построить кривую, соединив построенные точки (от руки или с помощью лекала);

8) составить уравнение этой кривой в прямоугольной декартовой системе координат.

Задача 5. Построить на плоскости геометрическое место точек, определяемое неравенствами

1) ;

2)