Диференціали вищих порядків

Означення 4. Диференціал від диференціала першого порядку називають диференціалом другого порядку:

.

Аналогічно знаходимо диференціал 3-го та 4-го порядку: .

Зауваження. Теореми про добуток і частку похідної справедливі і для диференціала: , . Але для диференціала порядку вони мають зміст тільки коли незалежна змінна. Для складеної функції ці формули не виконуються.

Дійсно:

Деякі теореми про диференційовні функції. Правило Лопіталя

Теорема Ферма. (Фр. 1601 – 1665) Нехай функція визначена на інтервалі і приймає в деякій точці найбільше або найменше значення. Тоді якщо в т. існує похідна цієї функції, вона дорівнює нулю.

Доведення.

Нехай в т. функція приймає найбільше значення на інтервалі (рис.4.32). Покажемо, що .

Так як .

Рисунок 4.32

Оскільки в т. значення найбільше, то звідси випливає, що

i

а) , то і ;

б) , то і при . Теорему доведено.

Теорема Ролля. Якщо неперервна на проміжку та диференційовна на інтервалі і , то знайдеться точка , така, що .

Теорема Лагранжа. Якщо неперервна на проміжку та диференційовна на інтервалі , то існує така точка , що має місце рівність .

Геометричний зміст: на існує точка , в якій дотична до графіка паралельна січній (рис.4.33).

Рисунок 4.33

Доведення.

Візьмемо на функцію .Так, як вона задовольняє теорему Ролля, то існує точка , така, що:

.

Що і потрібно було довести.