Похідні вищих порядків

Означення 1. Якщо функція має першу похідну, то похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку або другою похідною:

;

аналогічно: .

Похідна позначається римськими цифрами: або .

Фізичний зміст похідної другого порядку – − прискорення прямолінійного руху за час .

Друга похідна функції заданої параметрично знаходиться за формулою:

.

 

Поняття диференціала

Якщо функція диференційовна на , то .

Відповідно до теореми про зв'язок границі функції і нескінченно малої можна записати: , де , коли , тоді .

Означення 1. Якщо функція має в точці похідну , тоді добуток називається диференціалом функції в т. . Записують .

Так як тобто маємо .

Формули і властивості похідної, справедливі і для диференціала.

Геометричний зміст диференціала. Нехай дано функцію . – дотична (рис.4.31). З маємо . Але , . . Таким чином диференціал функції в т. дорівнює приросту ординати дотичної.

Зауваження: , але при малих , .

Рисунок 4.31

Застосування диференціала до наближених обчислень

– формула наближеного обчислення значення функції.

Означення 2. Абсолютною похибкою наближеної величини називається модуль різниці між її точним значенням та наближеним: .

Означення 3. Відносною похибкою називають: .