Метод наименьших квадратов (аналитический)

 

Регрессионный анализ тесно связан с методом наименьших квадратов. При решении конкретных задач применение этого способа сводится к следующим практическим операциям.

1. Исходя из геометрического места точек 2-х переменных Х и У, подбирается соответствующее математическое уравнение, возможно полнее отображающее существующую между ними зависимость.

2. В исходное уравнение подставляют соответствующие эмпирические даные, образуя систему нормальных уравнений.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

nb + a Σ х = Σ у;

b Σ х + а Σ х² = Σ ху,

где n – число единиц наблюдений.

В уравнениях регрессии параметр b показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов, параметр а (в уравнении параболы и а) – коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения.

3. Решая совместно полученные уравнения, определяют их параметры.

4. Подставив значения параметров в общее уравнение, получают эмпирическое уравнение регрессии, выражающее функциональную зависимость между переменными Х и У.

5. Подставляя в эмпирическое уравнение значение переменной Х, находят соответствующие (ожидаемые) средние значения другой переменной величины У. Таким способом получают сглаженный ряд регрессии У и Х. А подставляя в уравнение значение У, можно посчитать ряд регрессии Х и У.

Графический способ

 

Наиболее простым, не требующим вычислительной работы, является способ графического выравнивания эмпирических рядов и линий регрессии. После того как эмпирический ряд нанесен на график - в виде отдельных линий, или в виде отдельных точек, соответствующих групповым средним, “на глаз”, определяются срединные точки линии регрессии, которые потом соединяются с помощью линейки или лекала сплошной линией. В результате чего и получается выравненная линия регрессии.

Построение линии регрессии.

1. Провести «на глаз» прямую линию через экспертные точки так, чтобы расстояние до всех точек было минимальным.

2. Непосредственно на графике определяем значение а и b:

- определяем а по формуле, сняв с графика данные α,

- определяем b, сняв данные с графика.

3. Проверить удовлетворенность найденного уровня линейной регрессии между рядами эмпирических (у, х) и теоретических (у, α) значений регрессии путем вычисления коэффициента линейной регрессии.

Если величина коэффициента линейной корреляции окажется недостаточной, то следует выбрать другое аппроксимирующее значение.

Недостаток этого способа заключается в том, что он не исключает влияния индивидуальных свойств исследователя на результаты выравнивания. Поэтому там, где требуется большая точность выравнивания рядов, этому способу предпочитают другие.

 

 

Способ скользящей средней

 

Более точные результаты получаются при выравнивании эмпирических рядов последова-тельными исчислениями средних арифметических из двух или трех соседних значений ряда. Например, имеются следующие данные о возрастных изменениях веса детенышей гамадрилов.

Возраст (мес): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Средний вес (кг): 0.7; 1,0; 1,6; 1,4; 1,9; 2,0; 2,6.

Сначала находим сумму первых трех значений ряда: 0,7 + 1,0 + 1,6 = 3,3. Затем определяем сумму следующих трех значений, стоящих за первым: 1,0 + 1,6 + 1,4 = 4,0. Далее берем сумму других последующих значений: 1,6 + 1,4 + 1,9 = 4,9 и так до конца ряда. Проделав эту операцию, делим каждую полученную сумму на число слагаемых, т.е. на 3, и находим усредненные значения ряда: 1,1; 1,3; 1,6; 1,8; 2,2.

Способ скользящей средней прост и особенно удобен в тех случаях, когда эмпирический ряд представлен многим числом членов и потеря двух из них (крайних) заметно не сказывается на его общей структуре.

Ценность этого способа заключается также в том, что он позволяет себя модифицировать: усредненные величины можно получать из двух, трех и большего числа членов эмпирического ряда.