Другие коэффициенты

 

Для ситуации, когда Х – дихотомия, основанная на нормальном распределении, a Y измерен в шкале порядка, подходят только коэффициенты, которые были введены Кертеном (1956) и Глассом (1966).

При измерениях такого рода, мы исходим из гипотезы о нормальном распределении, лежащем в основе дихотомии для X, и обращаемся к вычислению бисериального рангового коэффициента корреляции Кертена, который обсуждается ниже в п. 5.3.

Мера связи, когда одна переменная измеряется дихотомически на основе нор­мального распределения, а другая – в шкале интервалов или отношений, – это бисериальный коэффициент корреляции r_bis.

Предположим, что переменная Y измеряется дихотомически, хотя более тщательная или более совершенная методика могла бы дать приблизительно нормальное распределение значений Y. Мы говорим, что измерение Y привело к дихотомии, основанной на нормальном распределении. Таким образом, Y измеряется точ­но тем же способом, что и переменные, участвующие в вычисле­нии тетрахорического коэффициента корреляции. Однако в этом случае данные измерений Х надо рассматривать как значения в шкале интервалов или отношений, которые распределены при­близительно нормально. Например, значения Х могут быть результатами теста на симпатии и антипатии учащихся к педагогам, а Y, при­нимающий значения 0 и 1, – результатами ответа на вопросы, оценивающие усвоение знаний. При более тщательно разработанных проверках успеваемости можно было бы обеспечить бо­лее широкий диапазон оценок успеваемости (оценок Y), которые были бы распределены приблизительно нормально. Тогда два массива нормально распределенных данных для Х и Y привели бы к определению r_ху. Что же говорят о величине r_ху оценки Х и дихотомические оценки Y? Ответ на этот вопрос дает бисериальный коэффициент корреляции r_bis.

Бисериальный коэффициент корреляции – это корреляция произведения моментов между Х и нормально распределенными значениями Y, что, по предположению, лежит в основе дихото­мии
(0 или 1). Это аналогично ситуации, в которой возник r_tet, за исключением того, что для r_tet обе переменные были дихото­мическими с нормальными распределениями.

Допустим, что преподаватель хочет установить связь времени (X), затраченного учащимися на изучение уравнивания химиче­ских реакций, и их навыками (Y) уравнивания таких реакций. Измерения значения Х ведутся по данным сообщений учащихся о времени, необходимом для выполнения домашнего задания. Вероятно, Y можно было оценить при более основательной проверке успевае­мости так, чтобы обеспечивалось приблизительно нормальное распределение; но допустим, что время, которым располагал пре­подаватель, позволяет предложить учащимся рассмотреть только один вопрос — хими­ческую реакцию для уравнивания. Поэтому предполагается, что в основе нулевых (неверный ответ) и единичных (правильное решение) лежит нормальное распределение ответов. Данные, ко­торые можно было бы получить в результате такого исследова­ния, приводятся в табл. 20. Они показывают, что 11 из 18 уча­щихся верно выполнили задание и их оценки в среднем более высоки, чем у 7 учащихся, которые решили задачу неправильно.

Объяснение, на основе которого выводится r_bis, следует из теории регрессии. Коэффициент регрессии для предсказания Х по нор­мально распределенному Y есть:

,

где sy – стандартное отклонение гипотетически нормально рас­пределенного Y, причем Y – не дихотомическая переменная. На­клон линии регрессии для предсказания Х по Y можно аппрокси­мировать наклоном линии, проходящей через среднее значение Х для объектов, имеющих нули по Y (обозначим их ), и среднее Х для объектов, имеющих единицы по Y (обозначим их ). Та­кая линия проведена на диаграмме рассеивания в табл. 20. Это линия наименьших квадратов в том смысле, что среднее группы представляет собой точку, относительно которой сумма квадра­тов отклонений минимальна.

Таблица 20

Пример вычисления бисериального коэффициента корреляции

Время, затраченное на изучение	Ответ на контрольный вопрос	Диаграмма рассеивания
		n1 =11, n0 = 7, n = 18   = 12,36, = 10,00, = 11,44, Sx = 2,55, u = 0,3836, rbis = 0,60

 

Наклон этой линии равен разности ( ₁ – ₀), деленной на расстояние между средними значениями нормально распределенного Y для объектов, имеющих нули и единицы по дихотомии. Последнее расстояние трудно найти элементарным способом. Искомое расстояние предполагает введение высоты и нормированной нормальной кривой над точкой с абсциссой (здесь осью Y), за кото­рой лежит 100 (n₁/n) процентов площади (n₁ – число объектов, имеющих “1” по дихотомии). Комбинирование этих фактов дает следующую формулу для вычисления r_bis:

r_bis = ,

где и являются средними значениями Х для объектов, имеющих соответственно единицы и нули по Y; s_x – стандарт­ное отклонение значений X; n₁ и n₀ – число единиц и нулей для Y, соответственно (n₁ + n₀ = n); и u — ордината (т.е. вы­сота) нормированного нормального распределения в точке, за которой лежит 100 – (n₁/n) процентов площади под кривой (см. рис. 3).

Пример вычисления r_bis приведен в табл. 20.

Вычисление r_bis можно упростить, пользуясь следующей экви­валентной, но слегка отличаю-щейся формулой, позволяющей получать то же, что и предыдущее уравнение:

 

r_bis = .

 

В отличие от любого другого коэф­фициента корреляции, r_bis иногда может принимать значения ниже –1 и выше +1. Но это лишь означает, что либо некоррект­но предположение о нормальности распределения X, либо что имеет место флуктуация выборки, когда значение n мало, что приводит к распределению значений Х в выборке с эксцессом меньше нор­мального.

Вероятно, вы уже заметили, что данные, по которым вычис­лялись и точечно-бисериальный коэффициент корреляции r_pb и r_bis, похожи. Единственная разница между постановками двух задач состоит в том, что в случае r_bis выдвигаются некоторые ги­потезы относительно распределения, лежащего в основе дихото­мии. В том, что касается свойств данных, r_pb и r_bis су­щественно различны. Поэтому беспредметны вопросы типа: «Как сравнить r_pb и r_bis для одной совокупности данных?» Области применения коэффициентов не пересекаются: каждый соответ­ствует своей цели.

Для одних и тех же данных отношение r_pb и r_bis равно

 

.

 

Минимальная величина отношения в этом уравнении есть 1,25, когда ни r_bis, ни r_pb не равны нулю. Поэтому, если r_pb положительно, r_bis будет положительным и большим; если r_pb отрицательно, r_bis будет отрицательным и ближе к –1. Если r_pb равно нулю, то r_bis также равен нулю. Таким образом, одни и те же данные дают основание для фиксации более сильной связи между Х и Y, если относительно нее делается больше предположений, т.е. если допустить, что дихотомия основана на нормальном распределении.

Понятия, лежащие в основе бисериальной корреляции, можно обобщить для применения при определении (установлении) трисериальной и полисериальной корреля­ции. Если значения Y измеряются трихотомически (О, 1, 2), можно исполь­зовать трисериальный коэффициент корреляции для оценки корреляции произведения моментов между Х и нормально распре­деленным Y, который, по предположению, трихотомичен. Обоб­щение r_bis до полисериальной корреляции содержится в работе Джаспена (1946). Практика свидетельствует о том, что часто величина коэффициента полисериальной корреляции намного от­личается от величины r_{bis ,} которая была бы получена при объ­единении нескольких категорий в две (так, например, при замене трихотоми­ческой переменной на дихотомическую переменную совмещением двух смежных категорий).

 

5.3. Бисериальная ранговая корреляция r_bis

 

Коэффициент бисериальной ранговой корреляции тесно связан с τ Кендалла, в определении используются понятия совпадения и инверсии. Обозначим его как рангово-бисериальный коэффициент r_b.

Пусть Х дихотомическая переменная, а Y – переменная, име­ющая n рангов 1, 2,..., n. Кертен искал такой коэффициент, описывающий связь между Х и Y, чтобы: а) при любых условиях он мог достигнуть границы +1; б) был бы равен +1, когда все n наивысших рангов являются единицами по дихотомии; в) был бы строго непараметричным, т.е. полностью определимым в терминах инверсий и совпадений без использования таких понятий, как среднее, дисперсия, регрес­сия и т.д.

Гласс (1966) показал, что r_b алгебраически эквивалентен коэффициенту для порядковых переменных. Практическое значение этого факта заключается в том, что появляется простой способ вычисления r_b без подсчета совпаде­ний и инверсий, но используют F_i – средний ранг объектов, имеющих 1 по X; a F_o – сред­ний ранг объектов с 0 по X.

Уайтфилд (1947) вывел коэффициент корреляции одной ди­хотомической и одной порядковой переменной. Его подход сво­дился к тому, чтобы рассматривать дихотомическую переменную как ранжируемую переменную, связанную на двух рангах. Далее он применил формулу τ Кендалла для связанных рангов. Получившийся коэффициент имеет тот же числитель, что и r_b, но другой знаменатель. В качестве меры корреляции предпочтитель­нее рангово-бисериальный коэффициент, поскольку коэффициент Уайтфилда не достигает +1, когда между Х и Y существуют некоторые строгие взаимосвязи.