Точки прикосновения и предельные точки. Поскольку нормированные пространства в то же время являются метрическими, то все понятия метрических пространств переносятся на нормированные пространства

Поскольку нормированные пространства в то же время являются метрическими, то все понятия метрических пространств переносятся на нормированные пространства. Здесь приведем определения открытых и замкнутых множеств и их свойства. Все предложения этого пункта, как правило, приводятся без доказательств, их можно найти в пособии [12].

Определение 4. Открытым шаром в нормированном пространстве с центром в точке и радиуса называется множество всех таких точек , что .

Замкнутым шаром называется множество всех таких точек , что .

Определение 5. Множество называется открытым в нормированном пространстве , если для любого найдется такое число , что верно включение .

Определение 6. Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее .

Предложение 7. Открытый шар является открытым множеством.

Открытый шар является окрестностью каждой своей точки.

Предложение 8. Объединение любого числа открытых множеств открыто. Пересечение любого конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Определение 7. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Предложение 9. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Определение 8. Точка называется точкой прикосновения множества , если каждая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества .

Определение 9. Точка называется предельной точкой множества , если каждая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества , отличную от точки .

Предложение 10. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои точки прикосновения.

Предложение11. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Определение 10. Множество всех точек прикосновения множества называется замыканием множества и обозначается символом .

Предложение 12. Имеет место соотношение .

Из этого предложения следует, что множество замкнуто.

Дадим еще одно важное определение.

Определение 11. Точка , принадлежащая ,называется изолированной точкой этого множества, если в некоторой ее окрестности нет точек из , отличных от .

Всякая точка прикосновения множества , как следует из определений, является либо предельной точкой для него, либо изолированной точкой этого множества. Отсюда следует, что замыкание множества состоит из точек трех типов:

1) изолированные точки ;

2) предельные точки множества , принадлежащие ;

3) предельные точки множества , не принадлежащие .

Следовательно, замыкание множества получается присоединением к всех его предельных точек.

Предложение 13. Точка нормированного пространства принадлежит замыканию множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества , сходящуюся к .

Доказательство. Пусть . Если при этом , то в качестве последовательности можно взять . Далее полагаем, что . Тогда точка является предельной точкой множества , ему не принадлежащей. Поэтому в каждом шаре , т.е. при любом , имеется хотя бы одна точка . В результате построили последовательность точек из множества , сходящаяся к точке .

Верно и обратное: если , , то . Действительно, если , то точка принадлежит открытому множеству . Поэтому найдется открытый шар с центром в точке , целиком лежащий во множестве , т.е. не имеющий общих точек с множеством . А это противоречит тому, что последовательность точек из множества сходится к . Предложение доказано.

Далее нам потребуется еще одно понятие.

Определение 12. Точка называется внутренней точкой множества , если существует ее окрестность . Точка называется внешней точкой , если существует шар , не содержащий точек из : .

Точка называется граничной точкой , если в любом шаре есть точки, принадлежащие и точки, не принадлежащие .