Пример 6.30.

Для схемы на рис. 6.11 найти значение и направление тока I₄, если остальные токи

имеют такие значения: I₁ = 10 А, I₂ = 15 А, I₃ = 1 А.

Рис. 6.11. Электрическая цепь постоянного тока: А – узел схемы

 

Решение

1. Поскольку направление тока I₄ неизвестно, выбираем его произвольно, например, уходящим от узла А (см. рис. 6.11, пунктирная стрелка).

Если в результате расчета этот ток получится отрицательным, значит, он на самом деле направлен не от узла, а к узлу.

2. в соответствии с 1-м законом Кирхгофа, уравнение токов в узле А имеет вид (первая формулировка):

I₁ + I_{3 –} I_{2 –} I₄ = 0,

откуда

I₄ = I₁ + I_{3 –} I₂ = 10 + 1 – 15 = – 4 А.

3. поскольку ток I₄ имеет отрицательное значение, на самом деле он направлен к узлу А.

Проверка.

С учетом действительного направления тока I₄ (к узлу А), уравнение токов для узла А имеет вид:

I₁ + I_{3 –} I_{2 +} I₄ = 0.

Для проверки в это уравнение подставляем числовые значения токов:

10 + 1 – 15 + 4 = 0.

Поскольку в последнем выражении левая и правая части уравнения равны, решение правильное.

Примеры использования 1-го закона Кирхгофа приведены в теме «Параллельное соединение приемников электроэнергии» и в разделе «Расчет сложных электрических цепей постоянного тока»

 

2-й закон Кирхгофа

Для демонстрации 2-го закона Кирхгофа используем схему электрической цепи на рис. 6.12, б.

а) б)

Рис. 6.12. Электрическая цепь, повторяющая схему на рис. 6.2, в (а); та же цепь, подготовленная к составлению контурных уравнений по 2-му закону Кирхгофа (б)

 

2-й закон Кирхгофа формулируется так:

в замкнутом контуре алгебраическая сумма эдс равна алгебраической сумме падений напряжений:

, (6.32)

где n – число эдс в контуре;

m – число падений напряжений в контуре (число резисторов в контуре).

Уравнения, составленные на основании 2-го закона Кирхгофа, называются контурными.

 

Предварительно, для удобства составления контурных уравнений, обозначим точками А, С, D, F углы прямоугольника, образованного схемой, а точками В и Е – узлы схемы (рис. 6.12, а и б).

Как следует из рис. 6.12, а, схема включает в себя три параллельные ветви:

левую ЕFАВ с ЭДС и резистором ;

среднюю с ЭДС и резистором ;

правую с ЭДС и резистором ;

В той же схеме два узла – это точки В и Е.

Наконец, в схеме три контура:

1. контур АВЕFA, включающий в себя левую и среднюю параллельные ветви;

2. контур ВСDЕB, включающий в себя среднюю и правую параллельные ветви;

3. контур АВСDЕFA, включающий в себя левую и правую параллельные ветви.

В буквенной записи контура первая и последняя буква должны быть одинаковыми, чтобы показать, что контур – это замкнутая часть сложной электрической цепи.

Перед составлением контурных уравнений преобразуем схему на рис. 6.12, а в схему на рис. 6.12, б таким образом:

1. Шаг 1-й.

В каждой параллельной ветви произвольно выберем направление тока, которое обозначим стрелками.

Например, ток , протекающий через резистор и ЭДС от узла В к узлу Е, направлен вниз (как показано на рис. 6.12, б);

ток через ЭДС и резистор , от узла Е к узлу В – снизу вверх;

ток через резистор и ЭДС , от узла Е к узлу В – снизу вверх.

Направление токов выбирается произвольно потому, что заранее, без расчёта, указать (угадать) направление токов невозможно.

Если, в конце расчёта, значение какого-либо тока получится отрицательным, значит, действительное направление этого тока на самом деле противоположно выбранному в начале расчета. Это – не ошибка!

2. Шаг 2-й.

Произвольно выбираем направление обхода каждого контура, по или против часовой стрелки и обозначаем это направление дугообразными стрелками.

Например, выберем направление обхода контура АВЕFA по часовой стреле, контура ВСDЕB – также по часовой стрелке, контура АВСDЕFA – тоже по часовой стрелке (на рис. 6.12, б стрелка не показана – не было места на рисунке).

При этом используем такое правило: порядок чередования букв в обозначении контура (например, контура АВEFА) и направление обхода контура должны совпадать.

Если, например, будет выбран обход контура в направлении против часовой стрелки, то буквенное обозначение этого же контура надо записать так: АFEBA.

3. Шаг 3-й и последний.

Составляем контурные уравнения.

В соответствии с (6.32), каждое такое уравнение должно состоять из двух частей – левой и правой. В левую часть записываются электродвижущие силы, в правую – падения напряжений.

При этом используем 2 правила, одно – для определения знака ЭДС, второе – для определения знака падения напряжения.

Правило для определения знака ЭДС:

если при обходе контура направление ЭДС внутри источника совпадает с направлением обхода контура, то такая ЭДС положительна и вносится в левую часть контурного уравнения со знаком “плюс”, и наоборот.

Например, на рис. 6.12, б при обходе контура АВEFА стрелки при ЭДС Е₁ и E совпадают по направлению со стрелкой, обозначающей направление обхода, значит, обе ЭДС положительны. Поэтому для контур АВЕFA левая часть уравнения получит вид:

Е₁ + Е_{2 .}

Правило для определения знака падения напряжения на резисторе:

если в резисторе тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на этом резисторе U = Ir положительнои вносится в правую часть уравнения со знаком “плюс”, и наоборот.

Например, на рис. 6.12, б при обходе контура АВEFА стрелки при токах и противоположны направлению обхода, значит, оба тока отрицательны. Поэтому правая часть уравнения такая:

– + (- ) = – ( + ).

Сведя вместе обе части уравнения, для контура АВEFА окончательно получим:

Е₁ + Е₂ = _. – ( + ). (6.33)

Рассуждая аналогично, для остальных двух контуров получим такие уравнения:

для контура ВСDЕB

- Е₂ – Е = , (6.34)

для контура АВСDЕFA

Е – Е = _. – ( + ). (6.35)

Применение 1-го и 2-го законов Кирхгофа

Эти два закона применяются при расчете сложных электрических цепей постоянного и переменного тока, а также магнитных цепей.

Иначе говоря, 1-го и 2-го законов Кирхгофа имеют универсальный характер.

Поясним некоторые особенности использования законов Кирхгофа на примере расчета цепей постоянного тока.

Эти особенности заключаются в следующем:

1. расчет электрических цепей обычно предполагает расчет по заданным значениям ЭДС и сопротивлений резисторов токов во всех ветвях электрической цепи.

Для этого надо составить систему уравнений, в которой число уравнений равно числу токов (аксиома алгебры).

Как следует из схемы на рис. 6.12, б, ветвей – три, токов – три (, , ), значит, уравнений должно быть три.

2. первыми составляются узловые уравнения как более простые.

При этом число узловых уравнений должно быть меньше на одно числа узлов. Это объясняется тем, что при составлений уравнений числом, равным числу узлов, два уравнения окажутся одинаковыми.

Докажем это.

В схеме на рис. 6.12, б узлов – 2, это точки В и Е, поэтому узловое уравнение – одно, например, для узла В:

+ = (6.36).

Если составить уравнение для второго узла Е, то оно будет таким же, как уравнение для узла В:

= + . (6.37)

Таким образом, нет смысла составлять узловые уравнения числом, равным числу узлов.

3. недостающие два уравнения системы – это контурные.

При этом в каждое новое контурное уравнение обязательно должна входить новая ветвь.

Для схемы на рис. 6.12, б можно выбрать такие два (ранее составленные) уравнения:

для контура АВEFА

Е₁ + Е₂ = _. – ( + ). (6.38)

В этот контур попали левая и средняя ветви.

Во второе контурное обязательно должна попасть правая ветвь.

Она входит в два контура – ВСDЕB и АВСDЕFA, поэтому можно выбрать любой из контуров, например, ВСDЕB:

– Е₂ – Е = . (6.39)

Тогда окончательно система уравнений для расчёта токов в схеме на рис. 6.12, б

примет вид:

+ = (для узла А); (6.40)

Е₁ + Е₂ = _. – ( + ) (для контура АВEFА); (6.41)

– Е₂ – Е = (для контура ВСDЕB). (6.42).

4. далее в эти уравнения подставляют числовые значения ЭДС и сопротивлений резисторов, после чего систему решают любым удобным для курсанта методом.

Для решения уравнений можно использовать программу «МATHCAD», но она выполняет решение без участия курсанта и требует наличия ноутбука с данной программой.

Между тем можно привести десятки примеров, когда судовым электромеханикам приходилось рассчитать цепи «врукопашную», без применения оргтехники.

Поэтому можно рекомендовать курсантам использовать известные из курса алгебры или высшей математики относительно простые методы самостоятельного расчета уравнений первой степени с несколькими неизвестными: подстановки, исключения, метод Гаусса, матричный метод и др.

Примеры расчета сложных электрических цепей постоянного и переменного тока (включая расчет последних с применением комплексных чисел), а также сложных магнитных цепей можно найти в «Методических указаниях к курсовой работе по дисциплине «Теоретические основы электротехники», автор доцент Миронова В. В. Так что, full ahead!