Свободные электромагнитные колебанияСвободными (собственными) электромагнитными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии. Рассмотрим колебательный контур, состоящий из резистора R, катушки индуктивности L и конденсатора С (рис. 14.1); сопротивлением проводов и возможным излучением электромагнитных волн пренебрегаем. Конденсатор ключом К заряжается от источ-
Преобразуем это уравнение, поделив все члены на L
Это есть дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний. Произведя замены:
получим уравнение Незатухающие колебания. Если контур не содержит резистора (рис. 14.2), то из (14.4) имеем:
Известно, что (14.5) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (5.8)] имеет вид
где qm — наибольший (начальный) заряд на обкладках конденсатора, ω0 — круговая частота собственных колебаний (собственная круговая частота) контура, φ0 — начальная фаза. Графики зависимости заряда (напряжения) от времени аналогичны графику зависимости смещения x(t), а график зависимости силы тока от времени — графику скорости v (t) (см. рис. 5.4). Из (14.3) найдем выражение для периода собственных колебаний (формула Томсона):
Затухающие колебания. При наличии резистора (рис. 14.1) процесс в контуре описывается уравнением (14.4), которое аналогично уравнению (5.19) для механических колебаний. При условии, что затухание не слишком велико, находим следующее решение [см.
(5.20)]:
Неравенство (14.12) выполняется, в частности, в контуре при отсутствии индуктивности (L → 0). Для этого случая (разряд конденсатора на резистор) из (14.1) имеем
Интегрируя последнее уравнение, находим
Потенцируя второе из выражений (14.14), имеем
Уравнение (14.15) описывает процесс разрядки конденсатора С на резистор R. При отсутствии индуктивности колебания не возникают (рис. 14.3, а). По такому закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора. Теоретически такой процесс, как это следует из (14.15), протекает бесконечно долго, однако принято длительность подобных процессов оценивать временем, в течение которого параметр, характеризующий процесс (в данном случае заряд и напряжение), уменьшится в е раз (постоянная времени, τ). Выражение для постоянной времени можно получить из (14.15),
если вместо q подставить qm/e, a t заменить на τ: откуда для контура с конденсатором и резистором постоянная времени равна
Можно показать, что зарядка конденсатора от источника постоянной ЭДС также происходит по экспоненциальному закону
График этой зависимости представлен на рис. 14.3,6.
|
ника, а затем разряжается на резистор и катушку индуктивности. Приэтом в контуре возникает ЭДС самоиндукции (которая, согласно закону Ома, будет равна сумме напряжений на элементах цепи: на резисторе UR = IR и конденсаторе Uc = q/c Поэтомуnзапишем
