Дискретные случайные величины

Дискретные случайные величины

Определение. Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

X	x 1	x 2	...	xi	...	xn
P	p 1	p 2	...	pi	...	pn

Определение. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней − вероятности p_i = P{ X = x_i } того, что случайная величина примет эти значения.

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно постоянной функцией, принимающей на промежутке (−∞, х ₁] значение 0, на промежутках (x_i, x_{i + 1}], 1 ≤ i < n, − значение р ₁ +... + p_i и на промежутке (x_n, +∞) − значение 1.

X			...	i	...	n
P			...	pi	...	pn

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0,1, 2,..., n в соответствии с распределением, заданным формулой

или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в таблице, где 0 < p, q <1 и p + q = 1.

Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа успехов X в п испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q = 1 − p.

X				...	n	...
P				...		...

Распределение Пуссона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями или, по-другому, с вероятностями, представленными рядом распределения в таблице, где λ > 0 − параметр распределения Пуассона.

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит "редкое" событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.

Геометрическое распределение. Рассмотрим схему Бернулли.

X				...	n	...
P	p	qp	q 2 p	...	qnp	...

Пусть X − число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда X − дискретная случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2,..., n,... Определим вероятность события { X = n }. Очевидно, что X = 0, если в первом же испытании произойдет успех.

Поэтому . Далее, X =1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором − успех. Но вероятность такого события, равна qp, т.е. . Аналогично X = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем − успех, и, значит, Продолжая эту процедуру, получаем

Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону.