Равносильность систем

Две системы называются равносильными на некотором числовом множестве, если они имеют совпадающие наборы решений на этом множестве.

 

ПРИМЕРЫ

1. Установим, на каком множестве равносильны следующие пары систем:

1) и

2-я система:

системы равносильны на множестве пар действительных чисел;

2) и

системы равносильны на множестве пар действительных чисел, из которого удалена пара .

 

2. Сделав равносильные переходы для системы , найдём все её решения:

 

 

.

Таким образом, система имеет два решения .

 

Перечислим основные действия над системами, которые гарантированно приводят к системе, равносильной данной:

 

1. Любое уравнение системы заменить на ему равносильное уравнение.

 

2. Одно уравнение системы заменить почленной суммой, разностью, произведением или отношением двух уравнений системы.

 

3. Если в системе одна неизвестная выражена через другие, то можно осуществить подстановку этого выражения во все уравнения системы:

 

.

 

4. Если система содержит уравнение, в котором левая часть представлена произведением нескольких выражений, а правая часть равна нулю, то есть уравнение вида ,

то она равносильна совокупности нескольких систем:

.

 

5. Если система содержит неизвестные под знаком модуля, то она равносильна совокупности нескольких систем с условиями, при которых раскрываются модули.

Например, .