Теорема 16.1.(Больцано, Коши) Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда существует хотя бы одна точка такая, что$Пусть, для определённости, Разделим этот отрезок пополам точкой Продолжим процесс деления отрезков пополам. При этом возникают две возможности. Либо на каком- то шаге получаем, для Действительно, с одной стороны,
|
. Обозначим 
и рассмотрим точку 
. Если оказалось, что 
, то теорема верна при 
. Если же 
, то либо 
и в этом случае положим 
, либо 
и в этом случае положим 
. В обоих случаях получен отрезок 
, длина которого равна половине длины отрезка 
и на концах которого функция 
принимает значения разных знаков.
. Если 
, то теорема верна при 
. Если же 
, то либо 
и в этом случае положим 
, либо 
и в этом случае положим 
. Снова обоих случаях получен отрезок 
, длина которого равна половине длины отрезка 
и на концах которого функция 
, и 
. Тогда теорема справедлива. Либо для всех 
выполняются неравенства 
. Тогда получается бесконечная система стягивающихся отрезков. Действительно, по построению каждый следующий отрезок вложен в предыдущий, а длина отрезка 
, равная 
, стремится к нулю при 
. Эти отрезки имеют общую точку, которую будем обозначать 
. Докажем, что 
.
, поэтому, по теореме о предельном переходе в неравенствах, 
, так как функция 
по условию непрерывна на отрезке 
и 
. С другой стороны, 
, так как 
. Полученные неравенства доказывают, что 
