Доказательство
(В определении требуется существование хотя бы какого-нибудь
Вопрос 10: ПРЕДЕЛ МОНОТОННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИИ Эта информация относится ко всем вопросам. Ее следует знать, но не следует рассказывать именно в 10 билете. Ниже приводятся определения бесконечных пределов.
Определение 10.1 Последовательность Определение 10.1′;Функция Теорема 10.1 (К. Вейерштрасс)
|
четная. Поэтому если доказать, что 
, то и 
, и по теореме 9.4. тогда 
. В определении предела при 
можно дополнительно требовать выполнение условия 
. Если же мы найдем 
, то, тем самым, хотя бы какое-нибудь 
. Рассмотрим окружность единичного радиуса и площади треугольников OAC, OBC и сектора OAC. 
, 
, 
сект. 
, откуда 
при 
, что равносильно 
, 
. Далее,
, а для 
мы только что доказали, что 
. 
, поэтому по теореме 9.3. 
и, значит, 
. Снова применяем теорему 9.3, откуда 
.
.
.
.
.
называется неубывающей, если для всех n выполняется неравенство 
. Она называется возрастающей, если выполняется неравенство 
. Последовательность 
. Она называется убывающей, если выполняется неравенство 
.Общее название всех таких последовательностей – монотонные последовательности.
, определенная на промежутке 
называется: неубывающей(возрастающей) на Х, если для всех 
из неравенства 
следует неравенство 
(
). Она называется невозрастающей(убывающей) на Х, если из 
(
). Общее название для этих случаев – монотонные на Х функции.
