Критерий Коши сходимости последовательности
Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Док-во. Необходимость. если Следовательно, для любых
Поэтому Достаточность. По условию последовательность 1. Докажем, что 2. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность №20 Вычисление пределов (qn),( →∞ 1) α>0, xn=1+ αn→+∞: для любого Ε: 1+ αn> Ε => n>(E-1)/α => N=[(E-1)/α]+1. 2) q>1, xn=qn→∞: q=1+α, где α>0: qn=(1+α)n≥1+ αn (lim1+αn→∞) →0 1) q<1. Если q=0, то очевидно. Если 0<|q|<1, то (1/q)>1, (1/q)n→+∞ =>qn=1/1/qn→0. .
|
, то для любого 
существует 
, такое, что для всякого 
имеем 
.
.
- фундаментальная последовательность.
=1. Тогда найдется n0=n0(1) такое, что для всех 
имеем 
. Но тогда 
. Отсюда 
.
при 
. Условие её сходимости можно записать так: 
такое что 
имеем 
. Пусть 
и 
. Тогда для всех n>N и nk>N имеем 
, т.е. последовательность 
), ( 
),( 
). xn=qn 
