Распределение Больцмана

 

В отсутствие внешних сил средняя концентрация n молекул газа в состоянии термодинамического равновесия всюду одинакова. Если же газ находится во внешнем силовом поле, ситуация становится иной.

Рассмотрим, например, поведение молекул газа, находящегося под действием силы тяжести. Если бы не было теплового движения, то все молекулы «упали» бы на поверхность Земли. Наличие же теплового движения мешает этому. В результате совместного действия этих двух факторов устанавливается некоторое равновесие, и концентрация молекул становится зависящей от высоты. Выясним, каким образом.

Пусть газ находится во внешнем поле потенциальных сил, действующих для простоты в одном направлении и зависящих только от координаты z. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе возникли бы потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем считать, что силы внешнего поля направлены вниз, а ось z - вверх (рисунок). Выделим мысленно бесконечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S = 1). Запишем условие равновесия этого слоя, используя гидростатический подход. На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp < 0), и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равновесии должно соблюдаться равенство

dp = ndz F_z,

где F_z - проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства являются отрицательными.

Из механики известно, что F_z = - ¶U/¶z, где U - потенциальная энергия молекулы во внешнем поле. Поэтому

dp = - n dU.

Считая газ идеальным, т.е. подчиняющимся формуле р = nkT, представим левую часть уравнения в виде dp = dn kT. Тогда dn kT = - n dU, или

Проинтегрировав последнее уравнение, получим

Будем считать (начальное условие), что U ₀ = 0, где n = n ₀, тогда

Этот закон и выражает распределение Больцмана.

С его помощью можно найти число молекул в интересующем нас элементарном объеме dV:

dN = n dV.

При этом следует иметь в виду, что объем dV может иметь, вообще говоря, не любую форму. Обязательным является выполнение условия: во всех точках объема dV концентрация n должна быть одинаковой.

Приведенный вывод формулы распределения является чисто гидростатическим: в нем мы, по сути, рассматривали газ как сплошную среду, отвлекаясь от его молекулярной структуры. Это допустимо лишь для достаточно плотных газов при наличии большого числа столкновений. Необходимо, чтобы средний свободный пробег молекул между последовательными столкновениями был мал по сравнению с толщиной dz слоя. Только в этом случае имеет смысл говорить о давлении, которое действует на слой dz со стороны соседних слоев. И тем не менее приведенный вывод привел к верному результату.

Существует и молекулярно-кинетический вывод закона распределения Больцмана, свободный от недостатков, присущих приведенному выводу. Он основан на принципе детального равновесия, который мы не будем обсуждать.

Рассмотрим подробнее случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. В этом случае U = mgz, где m - масса молекулы, и распределение Больцмана принимает вид:

 

На рисунке показаны два графика этого распределения, 1 и 2. График 2 соответствует более высокой температуре (по сравнению с графиком 1). Площадь под кривыми 1 и 2 на рисунке равна полному числу молекул в бесконечно высоком столбе. Отсюда следует, что площади под кривыми 1 и 2 одинаковы в данном случае.

Если газ представляет собой смесь разных газов, то в состоянии термодинамического равновесия концентрация n этих газов должна убывать с высотой экспоненциально с различной «скоростью» - в зависимости от масс молекул. Более крутая экспонента 1 на рисунке соответствует более тяжелым молекулам.

Для земной атмосферы резкого изменения состава газа с высотой не наблюдается. Известно также, что с высотой температура понижается, а это противоречит требованию одинаковости температуры в равновесном столбе газа. Все это указывает на то, что земная атмосфера не находится в состоянии статического равновесия.

 

Барометрическая формула

 

Умножим обе части распределения Больцмана на kT и получим барометрическую формулу для зависимости давления от высоты:

где М - молярная масса, R - универсальная газовая постоянная.