Решение. Применим теорему Гаусса для вектора

Применим теорему Гаусса для вектора . Поверхность интегрирования выберем в виде сферы с радиусом равным r и центром, совпадающим с центром металлического шара:

.

Ввиду симметрии задачи интеграл в левой части

.

Сравнивая две формулы, получим выражение для модуля электрического смещения:

D = Q/4pr ².

С другой стороны, по определению

.

Используя связь между вектором поляризации и напряженностью электрического поля, запишем

, ,

где k – восприимчивость диэлектрика.

Подставим это выражение в формулу для электрического смещения

.

Учитывая, что векторы и параллельны, и используя результат применения теоремы Гаусса, запишем выражение для модуля вектора поляризации

.

Вектор перпендикулярен поверхности диэлектрика и нормальная составляющая вектора поляризации равна поверхностной плотности связанных зарядов:

P = P _n = s ^¢ .

Тогда плотность связанных зарядов на внутренней поверхности диэлектрика рассчитывается при r=(R+0)

,

и полный заряд, наведенный на внутренней поверхности диэлектрика и связанный с s₁^¢ соотношением q ^¢ = 4pR²s₁ ^¢

.

В силу закона сохранения заряда точно такой же по модулю, но противоположный по знаку заряд должен появиться на внешней поверхности диэлектрика. Очевидно, что его плотность

.

5. На два последовательно соединенных конденсатора С₁ = 100 пФ и С₂ = 200 пФ подано постоянное напряжение U = 300 В. Определить энергию, запасенную в каждом конденсаторе.