Организация расчета по методу конечных элементов

Для МКЭ характерны особенности, которые следует учитывать при выборе и разработке программы расчета. Такими особенностями являются большие объемы исходных данных, промежуточных и окончательных результатов расчета. Поэтому расчет по МКЭ состоит из трех основных этапов [3]:

§ разработка расчетной конечно-элементной схемы и подготовка исходных данных;

§ проверка самого расчета;

§ обработка результатов расчета.

На рис. 2.23. приводится одна из возможных схем организации расчета по МКЭ. Каждый этап является самостоятельной задачей. На первом этапе самое существенное заключается в создании начальной конечно-элементной расчетной модели, исходя из инженерной интуиции о поведении конструкции. В последствии эта модель может корректироваться на основе анализа результатов расчета. Корректировка модели может выполняться и программным путем, если такая возможность реализована в используемом программном комплексе. Подготовка исходных данных осуществляется, как правило, с помощью программ генераторов сеток конечных элементов, образующих блок подготовки данных.

 

 

 

 

Рис. 2.23. Схема организации расчета по МКЭ

 

Проведение расчета (этап 2) осуществляется расчетным блоком, в котором используется тот или иной алгоритм расчета методом конечных элементов. Как правило, расчетный блок состоит из ряда программных модулей, каждый из которых выполняется на определенном шаге алгоритма. В простейшем случае программной реализации МКЭ для линейной статической краевой задачи теории упругости расчетный блок содержит следующую последовательность шагов:

§ ввод исходных данных (например, подготовленных программой-генератором в отдельном файле);

§ вычисление матриц жесткостей конечных элементов;

§ формирование глобальной матрицы жесткости полной структуры;

§ формирование глобального вектора нагрузок;

§ решение системы линейных алгебраических уравнений;

§ вычисление перемещений узлов сетки конечных элементов, деформаций и напряжений в произвольных точках конечных элементах.

На различных шагах расчетного блока включаются проверки правильности исходных данных и результатов промежуточных вычислений (диагностика ошибок), программные модули выбора сочетаний нагрузок, действующих на конструкцию, определение площади сечений арматуры в железобетонных конструкциях и другие. Диагностика ошибок на этапе выполнения программы является важной, так как при своевременном обнаружении ошибки прекращаются вычисления, что приводит к экономному использованию ресурсов ЭВМ.

Эффективное использование ЭВМ достигается также за счет разработки специальных методов решения стандартных математических задач, учитывающих специфику МКЭ, и, в первую очередь, ленточность и разреженность матрицы жесткости расчетной модели конструкции.

Расчет напряженно-деформированного состояния конструкции в рамках линейной теории упругости при действии на нее статических нагрузок сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В конечно-элементных комплексах программ используются разнообразные методы решения больших систем уравнений.

Следует отметить, что принцип модульности программирования, использованный в программных комплексах, позволяет создавать как универсальные вычислительные программы, так и промышленные для решения узкого класса задач. На первых этапах освоения МКЭ разрабатывались в основном промышленные вычислительные программы. Они эффективны, если решается большое количество вариантов однотипных задач, либо выполняется большой объем вычислений для качественного и количественного исследования явлений, связанных с новой постановкой задачи. Тенденция развития вычислительной техники, приведшая к созданию персональных ЭВМ и новых информационных технологий, оказала влияние на разработку программного обеспечения МКЭ. Программные комплексы по МКЭ активно используются в системах автоматизированного проектирования, базирующихся на персональных ЭВМ (AutoCAD/ MechanicalDesktop, Pro-Engineer).

Современные комплексы программ, в которых используется МКЭ, позволяют получать приближенные численные решения при расчете конструкций на статические и динамические нагрузки для широкого класса материалов с различными механическими характеристиками и поведением. Расчет конструкций на статические нагрузки может производиться с учетом физической и геометрической нелинейности, температурных полей, взаимодействия с другими средами (например, с жидкостью). Производится расчет критических нагрузок, при которых конструкция или ее элементы теряют устойчивость, поведения конструкции после потери устойчивости. МКЭ позволяет также определить нагрузки, при которых происходит разрушение конструкции. Учитываются такие свойства материала как анизотропность, нелинейная упругость, пластичность, текучесть. Учитываются виды геометрической нелинейности: большие деформации и большие перемещения. Основными динамическими задачами являются: расчет собственных колебаний конструкции; динамический отклик на нагрузку, зависящую от времени; распространение волн.

Автоматическое построение сетки

При автоматическом нанесении на исходную область множества узлов должен выдерживаться ряд требований. Так, узлы должны сгущаться в зонах, где ожидаются высокие концентрации напряжений или градиенты температур. При этом изменение густоты узлов не должно быть скачкообразным. Эти требования удается обеспечить, если в качестве координат узлов брать случайные числа с заданным законом распределения. Тогда в программных реализациях координаты узлов генерируются датчиком случайных чисел.

Предполагается, что методы полностью автоматического построения сетки требуют только задания геометрической модели (геометрии и топологии) объекта, подлежащего разбиению на элементы, свойств сетки, таких как плотность ячеек и типы элементов, а также граничных условий, включающих внешние нагрузки. Методы, не входящие в данную категорию, могут требовать ввода дополнительных данных, в частности разбиения объекта на несколько частей. Такие методы считаются полуавтоматическими. Рассмотрим одну из классификаций методов построения сеток. [2]