Этап 2: определение аппроксимирующей функции элементов

Эту процедуру можно выполнить один раз для типичного элемента области безотносительно к его топологическому положению в ней. Полученная функция используется далее для всех остальных элементов области того же вида. Эта особенность является важным аспектом МКЭ. Благодаря ней элементы с однажды определенными функциями легко включаются в библиотеку элементов соответствующего программного комплекса. Далее эти элементы применяются для решения разнообразных краевых задач.

В качестве аппроксимирующих функций элементов чаще всего используются полиномы. В зависимости от степени полинома конечные элементы делятся на симплекс–, комплекс– и мультиплекс–элементы. Полиномы симплекс-элементов содержат константы и линейные члены; полиномы комплекс-элементов — константы, линейные члены, а также члены более высоких степеней. Комплекс-элементы, как правило, кроме граничных имеют дополнительные внутренние узлы. Полиномы мультиплекс-элементов также содержат члены более высоких степеней. На мультиплекс-элементы накладывается дополнительное условие: их границы должны быть параллельны координатным осям.

Одномерный симплекс-элемент представляет собой отрезок, изображенный на рисунке 2.15.

Рис. 2.15. Одномерный симплекс-элемент

 

При определении функции этого элемента для простоты будем считать, что узловые значения искомой непрерывной функции, определенные на концах отрезка, известны. По длине отрезка значение функции φ аппроксимируется полиномом:

φ = α ₁ + α ₂х. (2.46)

 

Коэффициенты α ₁ и α ₂ определяются через узловые значения функции Ф_i и Ф_j в соответствии с условием непрерывности:

 

φ = Ф_i при х = Х_i,

φ = Ф_j при х = Х_j. (2.47)

 

Подставив (2.47) в (2.46), получим систему уравнений:

 

Ф_i = α ₁ + α ₂ Х_i,

Ф_j = α ₁ + α ₂ Х_j.

 

решая которую, определим α ₁ и α ₂:

 

т.е. .

 

Подставив вычисленные значения коэффициентов аппроксимирующего полинома в (2.46), получим

 

.

 

Проведем эквивалентные преобразования правой части:

(2.48)

 

Члены полученного уравнения, заключенные в скобки, являются функциями формы одномерного симплекс–элемента:

 

; . (2.49)

 

С учетом обозначений (2.49) уравнение (2.48) принимает вид

 

φ = N_iФ_i + N_jФ_j, (2.50)

 

или в матричной форме

 

φ = NФ, (2.51)

 

где N = [N_i, N_j] — матрица–строка; — вектор-столбец.

Функция формы обладает следующим свойством: функция формы с номером i равна 1 в узле с соответствующим номером и равна 0 во всех других узлах. Не представляет труда убедиться в наличии этого свойства у функций формы (2.49).

Двумерный симплекс–элемент представляет собой плоский треугольник с прямолинейными сторонами.

Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию φ внутри треугольного симплекс–элемента имеет вид

 

φ = a₁ + a₂x + a₃y (2.52)

 

Чтобы получить выражения для функций формы элемента, необходимо пронумеровать узлы треугольника. Обозначим их номерами i, j, k, начиная с произвольно выбранного узла, двигаясь при этом против часовой стрелки (рис. 2.16). Узловые значения Ф_i, Ф_j, Ф_k будем по-прежнему считать известными.

 

Рис. 2.16. Функция двухмерного симплекс–элемента

 

Используя условие непрерывности искомой функции в узлах аналогично предыдущему случаю, составим систему уравнений

 

 

решая которую относительно неизвестных коэффициентов полинома, получим:

a₁ = (0, 5/ S[(X_jY_k – X_kY_j)Ф_i + (X_kY_i – X_iY_k)Ф_j + (X_iY_j –

– X_jY_i)Ф_k]);

a₂ = (0, 5/ S)[(Y_j – Y_k)Ф_i + (Y_k – Y_i)Ф_j + (Y_i – Y_j)Ф_k]);

a₃ = (0, 5/ S)[(X_k – X_j)Ф_i + (X_i – X_k)Ф_j + (X_j – X_i)Ф_k]. (2.53)

 

где S — площадь элемента, вычисляемая по формуле

.

 

Подставим (2.53) в (2.52), проделаем аналогичные преобразования, получим

 

(2.54)

где (2.55)

и

 

Вычисляя значения функций формы N_i, N_j, N_k нетрудно убедиться, что они равны 1 в узлах с соответствующими номерами и 0 в остальных узлах элемента.

Функции (2.50) для одномерного и (2.55) для двумерного симплекс–элементов были получены для типичных элементов безотносительно к положению в области. Поэтому они удовлетворяют всем элементам данного типа, что позволяет создавать обширные библиотеки элементов в САПР. Аналогично вычисляют функции всех прочих типов элементов.