Модель Андерсона

Разрушение порядка, как известно, может осуществляться разными способами:

- расположение узлов примесей – случайное положение атомов { R_j };

- при правильном расположении узлов примесной решетки, но энергетический уровень e _j для электрона на узлах – различный.

 

Рис. 9.2. Потенциальные ямы в модели Андерсона

Такие задачи следует рассматривать в узельном приближении. Основной гамильтониан имеет вид:

. (9.5)

Энергии e _j считаются случайными величинами, между которыми нет корреляций, т.е. значение e _j в j -м узле не зависит от значений в соседних узлах. Распределение случайной величины e _j будем предполагать равномерным в некотором энергетическом интервале W:

.

Основной вопрос: является ли волновая функция локализованой в окрестности некоторого узла или распространяется на всю систему. Важно понять следующее.

- Образуется ли когерентное состояние, являющееся суперпозицией бесконечного числа узельных функций j, входящих с примерно одинаковым весом, которые простираются на макроскопическое расстояние (металлическая проводимость).

или

- узельные функции входят в суперпозицию с весом, экспоненциально убывающим по мере удаления от некоторого узла. Такое состояние является локализованым вблизи этого узла. Если все состояния локализованы, то проводимость системы при температуре T = 0 равна нулю (диэлектрик).

Даже при всех представленных выше упрощениях модели аналитического решения её нет. Численный анализ дает следующую картину:

1. Вблизи каждого узла примеси волновая функция похожа на узельную j, коль скоро интеграл перекрытия I мал.

2. Допустим, в нулевой момент времени волновая функция совпадает с узельной функцией j _i, соответствующей узлу i. Поскольку эта функция не является собственной функцией полного гамильтониана системы (1), то она будет меняться со временем. Приходится решать нестационарную задачу и искать на i- м узле при больших временах.

3. Если состояния не локализованы, то начальный волновой пакет расплывается по всей системе, поэтому в бесконечной системе . Если разброс уровней e отсутствует (т.е. W мало), то расплывание происходит за .

4. Если же состояния локализованы, то расплывания начального волнового пакета не произойдет: волновая функция приобретает со временем некоторую конечную плотность на соседних узлах («хвосты») с экспоненциально малой амплитудой и будет сосредоточена в одном и том же объеме .

5. Определяющим фактором исхода таких численных экспериментов является значение параметра h - отношение: