Тройные интегралы

Пусть VÍ R ³ – замкнутая область, ограниченная непрерывной поверхностью. Пусть f (x, y, z) – функция, заданная и ограниченная на V. Пусть V = V₁È V₂È … È V_n, где V_1, V₂, … V_n – области, не имеющие общих внутренних точек. Обозначим через v _k объем области V_k, а через d _k – ее диаметр. Пусть d = – диаметр разбиения V_1, V₂, … V_n. В каждой области V_k выберем точку (, z_k) и составим интегральную сумму, соответствующую данному разбиению: S = .

Определение. Если существует предел интегральных сумм при d ®0, не зависящий от разбиения, то функция f (x, y, z) называется интегрируемой в области V, а предел интегральных сумм называется тройным интегралом функции f (x, y, z) по области V и обозначается .

1^о. Если функция f (x, y, z) непрерывна в области V, то она интегрируема в этой области.

2^о. Пусть область V заполняет неоднородное тело, точечная плотность которого в точке (x, y, z) равна r(x, y, z). Тогда масса этого тела равна (физический смысл тройного интеграла).

Все свойства тройного интеграла повторяют свойства двойного: аддитивность, линейность, неравенства, теорема о среднем. При этом равен объему области V (геометрический смысл тройного интеграла).

Пусть область V ограничена гладкими поверхностями z =j(x, y) и z =y(x, y), где (x, y)Î D (проекция области V на плоскость x 0 y), причем j(x, y)£ y(x, y) при (x, y)Î D. Тогда = , то есть вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного и одинарного.

Пример. 1) Вычислим , где область V ограничена параболоидом z = x ²+ y ² и плоскостью z =1. Проекция D этой области на плоскость х 0 у – круг x ²+ y ²£ 1. Поэтому = = = = . Перейдем к полярным координатам: = = = = = .

2) Вычислим , где V – тетраэдр, ограниченный координатными плоскостями и плоскостью 2 х +2 у + z –6 = 0. Проекция D этого тетраэдра на плоскость х 0 у – треугольник ОАВ, где О – начало координат; уравнение прямой АВ: х + у –3=0, А(3; 0; 0), В(0; 3; 0). Поэтому = = = = = = = = = .·