Студопедия — Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними






Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение символом × или (, ).

, (10)

где j – угол между и .

Свойства скалярного произведения:

1. (, ) = (, );

2. ( + ) = (, ) + (, );

3. (λ , ) = λ (, );

4. (, ) = = 2.

5. Если векторы и перпендикулярны, то (, ) = 0 (необходимое и достаточное условие).

Если векторы и заданы своими координатами:
= (х 1, у 1, z 1), = (х 2, у 2, z 2), то их скалярное произведение вычисляется по формуле

(, ) = х 1 х 2 + у 1 у 2 + z 1 z 2. (11)

Косинус угла φ между векторами и определяется по формуле:

(12)

Если векторы заданы координатами, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов примет вид:

x 1 × x 2 + y 1 × y 2 + z 1 × z 2 = 0, (13)

Скалярное произведение векторов и можно записать через проекцию одного вектора на другой по следующей формуле:

(, ) = × = . (14)

Отсюда легко находится проекция одного вектора на другой:

; . (15)

Пример 5. Векторы и образуют угол . Зная,
что , , вычислить скалярное произведение вектора
(2 + 3 ) на вектор ().

Решение. Используя формулу (10) и свойства скалярного произведения, имеем:

((2 + 3 ), ()) = (2 , ) + (3 , ) – (2 , ) – (3 , ) = = 2 2 + 3(, ) – 2 (, ) – 3 2 = 2 2 + (, ) – 3 2;

2 = 52 = 25;

2= 22 = 4;

(, ) = 5 × 2 × cos = 5.

Следовательно, ((2 + 3 ), ()) = 2 × 25 + 5 – 3 × 4 = 43.

Пример 6. Найти угол между векторами = (–1, 2, 4) и
= (2, –1, 3). Вычислить .

Решение. Используем формулу (11). Найдем скалярное произведение векторов и . (, ) = (–1) × 2 + 2 × (–1) + 4 × 3 = 8.

 

Найдем модули и .

;

.

Подставив найденные значения в формулу (12), получим:

, .

Используя формулу (15) и полученные вычисления, имеем .







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1075. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия