Решение. 1) Так как матрица А квадратная, она может иметь обратную

1) Так как матрица А квадратная, она может иметь обратную.

2) Найдем определитель матрицы А:

,

т.к. , матрица А имеет обратную.

3) Строим матрицу А^Т, транспонированную матрице А.

4) Каждый элемент матрицы А^Т заменяем его алгебраическим дополнением:

.

 

5) В формулу (9) подставим найденные значения.

, полученная матрица А ^–1 является обратной матрице А.

 

6) Сделаем проверку. = .

.

 

1.4.3. Решение систем линейных уравнений

средствами матричного исчисления

Матричным способом решаются квадратные системы линейных уравнений, т.е. системы, у которых число уравнений равно числу неизвестных, и определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, не равен нулю.

 

Пример 16. Решить систему уравнений матричным способом.

.

Решение. Обозначим через А матрицу из коэффициентов при неизвестных: ; через Х матрицу-столбец из неизвестных:

и через В –матрицу-столбец из свободных членов .

Тогда систему в матричном виде можно записать следующим образом: АХ = В. Сделаем преобразования:

Найдем матрицу, обратную матрице А. Вычислим определитель матрицы А:

.

(Определитель посчитан по правилу треугольников).

Так как , то матрица имеет обратную.

Запишем матрицу, транспонированную матрице А:

.

Составим матрицу из алгебраических дополнений матрицы А^Т.

.

Обратная матрица имеет вид .

Проверка .

Запишем решение системы:

.

Получили = . Если две матрицы одинаковой размерности равны, то равны все их соответствующие элементы, т.е. х ₁= –1; х ₂= 2; х ₃= 3.

Ответ: (–1; 2; 3), система совместна и определена.