Основные теоретические сведения. На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторовНа любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Обозначим через Х 1, Х 2, …, Х m объясняющие переменные, влияющие на одну зависимую переменную Y. В этом случае возникает задача установления формы зависимости между переменными и определения функции регрессии. Тогда вместо парной регрессии рассматривается множественная регрессия. Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими объясняющими (независимыми) переменными: Y = f (х 1, х 2, …, х m), (2.1) т.е. условное математическое ожидание имеет вид (2.1): М (Y / х 1, х 2, …, х m) = f (х 1, х 2, …, х m). (2.2) Если между переменными наблюдается линейная зависимость, тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде: Y = 0 + 1 Х 1 + 2 Х 2 + …+ m Х m + , (2.3) или для индивидуальных наблюдений i, i = 1, 2, …, n: yi = 0 + 1 xi 1 + 2 xi 2 + …+ m xi m + i, (2.4) = ( 0, 1, 2, …, m)т – вектор параметров, подлежащий определению. Как и в случае парной регрессии по выборочным данным мы можем получить только эмпирическое уравнение модели: Y = b 0 + b 1 Х 1 + b 2 Х 2 + …+ bm Хm + e. (2.5) Или для индивидуальных наблюдений: уi = b 0 + b 1 xi 1 + b 2 xi 2 + …+ bm xim + ei. (2.5) Здесь В = (b 0, b 1, b 2, …, b m)т - оценка вектора . Для определения оценок b 0, b 1, b 2, …, b m воспользуемся матричным МНК. Представим данные наблюдений и коэффициенты в матричном виде:
, , , .
Тогда уравнение множественной линейной регрессии второго рода запишем в виде: = Х В. (2.6) Остаточная сумма квадратов в данном случае равна . (2.7) Результатом минимизации (2.7) является вектор: B = (XT X)-1 XT Y. (2.8)
Оценки вектора В (2.8) являются несмещенными и эффективными, если выполняются предпосылки множественного регрессионного анализа [1]. Вычислим дисперсии коэффициентов регрессии b 0, b 1, b 2, …, b m, которые используются для оценки их точности, определения доверительных интервалов для теоретических коэффициентов 0, 1, 2, …, m и проверки соответствующих гипотез. Вариации оценок параметров будут определять и точность уравнения множественной регрессии. Для измерения их в многомерном регрессионном анализе используют ковариационную матрицу вектора оценок . Дисперсии коэффициентов вычисляются по формулам [1]:
, (2.9)
В (2.9) S 2 – дисперсия регрессии, вычисляется по формуле:
S 2 = ( (еi 2))/(n – m – 1), (2.10) - j -й (j = 0, 1, …, m) диагональный элемент матрицы Z -1 = (XT X)-1. (2.11)
Оценка качества уравнения множественной линейной регрессии 2-го рода определяется следующими характеристиками: - доверительными интервалами для коэффициентов регрессии и их статистической значимостью; - оценкой коэффициента детерминации и его статистической значимостью; - выполнением предпосылок МНК; - прогнозом значений зависимой переменной и его параметрами 1. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии.
|