Дифференциал функции, его применение

 

Дифференциалом дифференцируемой функции в точке x называется главная часть ее приращения в той точке, линейная относительно приращения аргумента и вычисляемая как произведение производной на приращение аргумента :

 

.

Дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малое слагаемое более высокого порядка малости, чем :

 

о прималых

 

Эта формула используется для приближенного вычисления значений функции в «приближенной точке» при малых .

 

Если , то ,

 

то есть дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением.

Поэтому , то есть производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента.

 

 

Пример 1.

Найти дифференциал функции

а) ; б) в точке ;

в) в точке при .

 

Решение.

 

а) Находим производную данной функции

;

тогда .

 

б) Производная ;

значение производной в данной точке ;

тогда .

 

в) Производная

,

;

тогда .

 

 

Пример 2.

Вычислить приращение стороны куба, если известно, что его объем увеличился от 27 до 27, 1 м³.

Решение.

Если – объем куба, то его сторона . По условию задачи Тогда приращение стороны куба .

, подставив данные, получим м.

 

 

Пример 3.

Найти приближенное значение:

а) , б) ,

в) (вычисления провести с точностью до трех знаков после запятой).

Решение.

а) Рассмотрим как значение функции при . Пусть , тогда ,

, , .

Подставим найденные значения в формулу , получим .

б) Рассмотрим как значение функции при . Пусть , тогда , , , .

Подставим найденные значения в формулу, получим

в) Рассмотрим как значение функции при . Пусть , тогда ,

, , .

Подставим найденные значения в формулу, получим

.

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

Найти приближенное значение (с точностью до трех знаков после запятой).

Вариант 2.

Найти приближенное значение (с точностью до двух знаков после запятой).

Вариант 3.

Найти приближенное значение (с точностью до трех знаков после запятой).

 

 

Ответы.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

 

 

Дополнительные упражнения.

1. . При вычислить и , давая значения ; ; . Найти соответствующее значение относительной погрешности .

2. Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на:

а) 1 см; б) 0, 5 см; в) 0, 1 см?

Найти главную линейную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную погрешность (в процентах) при замене приращения площади его главной частью.

 

3. Вычислить приближенно , используя , если .

 

Ответы.

 

1.	0, 1	0, 01
	1, 161	0, 110601
	1, 1	0, 11
	0, 061	0, 000601
	0, 0526 5%	0, 0055 0, 55%

 

2.

 

3.