Тема 5. Квадратичные формы

Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Матричная форма записи квадратичной формы.. Канонический вид и ранг квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределенная квадратичные формы. Критерий определенности квадратичной формы через собственные значения ее матрицы. Критерий Сильвестра. ([1 или 5, § 3.8]; [2 или 6,

§ 3.5], или [3, § 3.8, 3.14], или [4, § 3.11, 3.13, 3.20]).

Квадратичные формы достаточно часто возникают при решении прикладных задач. Если в n -мерном линейном пространстве выбрать некоторый базис, то квадратичную форму можно рассматривать как некоторую функцию векторного аргумента .

Необходимо знать определение и матричную запись квадратичной формы, ее канонический вид. Уметь приводить в простых случаях квадратичную форму к каноническому виду, имея в виду, что это возможно сделать многими способами, но ранг квадратичной формы при этом не меняется.

Студент должен владеть двумя способами исследования на знакоопределенность квадратичной формы (с помощью собственных значений ее матрицы и критерия Сильвестра). Например, очевидно, что квадратичная форма (т.е. ) является знакоположительной. В этом можно убедиться с помощью отмеченных критериев, ибо матрица квадратичной формы , как нетрудно показать, имеет положительные собственные значения , , а угловые (главные) миноры , также положительные. А квадратичная форма не является знакоопределенной, так как ее матрица имеет разные по знаку собственные значения и , а угловые миноры , чередуются по знаку, начиная с положительного значения (при , квадратичная форма была бы знакоотрицательной) – (см. [1 или 5, примеры 3.11, 3.12], или [3, примеры 3.11, 3.12, 3.109, 3.110]).