Изоморфизм частично упорядоченных множеств

 

Частично упорядоченные множества p) и (Y, p ¢) изоморфны, если чуществует биекция , сохраняющая отношение порядка, т.е. таких, что p , выполняется p ¢ .

Пример. Рассмотрим множество T точек горизонтальной прямой, упорядоченное отношением L – “лежит левее или совпадает”, и множество действительных чисел R с введенным на нем отношением порядка “£ ”. Тогда (T, L) изоморфно (R, £) и, решив задачу на множестве R, мы иллюстрируем решение с помощью множества T, так как структура этих множеств одинакова.

Теорема. Всякое частично упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству его булеана, упорядоченному отношением включения.

Пример. Рассмотрим частично упорядоченное множество (X, ½) из 1.2.7. Так как состоит из элементов, то его булеан B (X) содержит элементов – подмножеств множества X. Выберем из них 4 подмножества следующим образом: сопоставим каждому элементу подмножество B (X), включающее те и только те элементы y, которые являются делителями элемента x:

.

Получим множество B (X), где , , , . Частично упорядоченные множества (X, ½) и () изоморфны (рис. 1.10).

 

 

Доказательство теоремы. Пусть задано произвольное упорядоченное множество p). Построим подмножество B (X) с помощью соответствия: каждому элементу сопоставим p x } и обозначим .

Покажем, что соответствие является биекцией, т.е. выполняются условия а – г определения биекции из 1.2.1. Условия а – в выполняются согласно способу построения множества F: каждый элемент имеет единственный прообраз , а каждый элемент множества F имеет прообраз . Покажем, что этот прообраз – единственный. Предположим противное: существует два различных элемента , имеющие одинаковые прообразы и , т.е. , но .

В силу рефлексивности отношения порядка “ p ” имеем:

a p a p b.

Аналогично,

b p b p a.

Так как отношение порядка антисимметрично, получим , что противоречит нашему предположению. Следовательно, различные элементы имеют различные прообразы: , а отображение является биекцией.

Докажем, что биекция сохраняет порядок, т.е. если и a p b, то . Согласно определению включения множеств достаточно показать, что выполняется .

Возьмем произвольный элемент . Тогда x p a, но a p b, поэтому x p b (в силу транзитивности отношения порядка) и . Доказано включение .

Итак, построенное отображение B (X) является биекцией, сохраняющей отношение порядка. Следовательно, частично упорядоченные множества (X, ½) и () изоморфны. Теорема доказана.