Координаты точки на плоскости и в пространстве

В настоящих методических указаниях будет рассматриваться только прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Когда в условии задачи сказано «дана точка», то это значит, что координаты точки известны. Если в задаче необходимо «найти точку», то это означает, что следует определить её координаты. Фраза «дан отрезок прямой» означает, что известны координаты концов этого отрезка.

Координаты точки на плоскости записываются в скобках рядом с названием точки, причем всегда на первом месте в прямоугольной системе координат записывается абсцисса точки, а на втором – её ордината. Например, если x ₁ – абсцисса точки A, а y ₁ – ее ордината, то это записывается так: A (x ₁, y ₁). У точки, лежащей на оси абсцисс, ордината равна нулю; у точки, лежащей на оси ординат, абсцисса равна нулю. Обе координаты точки начала координат равны нулю. Для определения местоположения точки в пространстве используются три координаты – абсцисса, ордината и аппликата, это записывается так: A (x ₁, y ₁, z ₁).

Пример 1.1. Постройте на плоскости точки A (2, 4)и B (–3, –2), найдите длину отрезка AB.

Решение. Выберем единицу масштаба и возьмем на плоскости прямоугольную систему координат. Абсцисса точки A равна 2, а ее ордината 4. Отложим на оси Ox вправо от начала координат О отрезок ОА ₁ длиною в 2 единицы масштаба, а по оси Oy вверх от начала координат – отрезок OA ₂ длиною 4 единицы масштаба. Из точки А ₁ восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки A ₂ – перпендикуляр к оси Oy. Пересечение этих перпендикуляров и определит искомую точку А (рис 1.1).

Абсцисса точки B равна –3, а ее ордината –2. Отложим на оси Ox влево от начала координат О отрезок ОВ ₁ длиною в 3 единицы масштаба, а по оси Oy вниз от начала координат – отрезок OВ ₂ длиною в 2 единицы. Из точки В ₁ восстановим перпендикуляр к оси Ox, а из точки В ₂ – перпендикуляр к оси Oy. Пересечение этих перпендикуляров и есть точка В (рис 1.1).

Расстояние d между точками A (x ₁, y ₁)и B (x ₂, y ₂) плоскости определяется по формуле . Расстояние d называется еще длиной отрезка AB. Расстояние между точками A (2, 4)и B (–3, –2) плоскости или длина отрезка АВ равна: единиц масштаба.

Ответ: .

Пример 1.2. Постройте на плоскости точки, симметричные точке
A (–2, 4)относительно: а) оси Ox; б) оси Oy; в) начала координат.

Решение. Для решения этой задачи следует помнить следующие определения. Две точки M и N называются симметричными относительно прямой, если отрезок MN перпендикулярен этой прямой, причем его середина лежит на этой прямой. Точки M и N называются симметричными относительно точки O, если точка O является серединой отрезка MN.

а) Точка В, симметричная с точкой A (–2, 4)относительно оси Ox, имеет абсциссу такую же, как и точка А, а ординату, равную по абсолютной величине ординате точки А, но противоположную ей по знаку (рис. 1.2). Значит, точка В имеет координаты –2 и –4: В (–2, –4).

б) Точка С, симметричная с точкой A (–2, 4)относительно оси Oy, имеет ординату такую же, как и точка А, а абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе точки А, но противоположную ей по знаку (рис. 1.2). Значит, точка С имеет координаты 2 и 4: С (2, 4).

в) Точка D, симметричная с точкой A (–2, 4)относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате точки А, но противоположные им по знаку (рис. 1.2). Значит, точка D имеет координаты 2 и –4: D (2, –4).

Пример 1.3. Постройте в пространстве точки A (2, 4, 3)и B (1, –3, –2), найдите длину отрезка AB.

Решение. Выберем единицу масштаба и возьмем в пространстве прямоугольную систему координат. Абсцисса точки A равна 2, ее ордината равна 4, а аппликата 3. Отложим на оси Ox вперед от начала координат О отрезок ОА ₁ длиною в 2 единицы масштаба, по оси Oy вправо от начала координат – отрезок OA ₂ длиною 4 единицы масштаба. Через точку А ₁ проведем прямую, параллельную к оси Oy, а через A ₂ – прямую, параллельную к оси Ox. Пересечение этих прямых определит точку A ₃ (рис 1.3), через точку А ₃ проведем прямую, параллельную оси Oz. Отложим на этой прямой вверх от А ₃ – отрезок A ₃ А длиною 3 единицы масштаба. Итак, точка A (2, 4, 3) построена.

Абсцисса точки B равна 1, ее ордината –3, аппликата –2. Отложим на оси Ox вперед от начала координат О отрезок ОВ ₁ длиною в 1 единицу масштаба, а по оси Oy влево от начала координат – отрезок OВ ₂ длиною 3 единицы масштаба. Через точку В ₁ проведем прямую, параллельную к оси Oy, а через В ₂ – прямую, параллельную к оси Ox. Пересечение этих прямых определит точку В ₃ (рис 1.3), через которую проведем прямую, параллельную оси Oz. Отложим на этой прямой вниз от В ₃ – отрезок В ₃ В длиною 2 единицы масштаба. Итак, точка B (1, –3, –2) построена.

Расстояние между точками пространства определяется по формуле, аналогичной формуле вычисления расстояния между точками плоскости. Расстояние между точками A (2, 4, 3)и B (1, –3, –2) и есть длина отрезка АВ: = единиц масштаба.

Ответ: .

Если даны точки A (x ₁, y ₁, z ₁) и В (x ₂, y ₂, z ₂) в пространстве, то координаты точки С (x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении определяется по формулам .

Если l = 1, то точка С (x, y, z) делит отрезок АВ пополам, и тогда координаты середины отрезка: .

Пример 1.4. Найти точку С – середину отрезка, соединяющего точки A (1, 5, 3)и B (1, –3, –1).

Решение. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Т. е. координаты точки С равны . Итак, середина отрезка АВ – точка С (1, 1, 1) (рис. 1.4).

Пример 1.5. Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами А (1, 1), В (0, 4) и С (–3, –1) (толщину пластинки не учитывать).

Решение. Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Из элементарной геометрии известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке, причем эта точка делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим ее М (x, y).

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины А. Один ее конец известен А (1, 1), а координаты другого ее конца D получим, как координаты середины отрезка ВС: .

Теперь, зная координаты начала А и конца D отрезка АD и то, что точка М делит этот отрезок в отношении l = 2, получаем .

Итак, центр тяжести треугольника АВС – точка М (рис. 1.5). Полученный результат приводит к выводу, что координаты центра тяжести однородной треугольной пластинки, если не учитывать ее толщину, равны среднему арифметическому одноименных координат ее вершин.