Общие сведения. В лабораторной работе, выполняемой на ПЭВМ, изучаются ошибки измерения временного положения импульсного радиосигнала s(t)

Цель работы

 

Изучение механизмов образования ошибок измерения временного положения радиоимпульсного сигнала и способов обеспечения требуемой точности измерения

 

 

В лабораторной работе, выполняемой на ПЭВМ, изучаются ошибки измерения временного положения импульсного радиосигнала s(t), поступающего на вход измерительного приемника в смеси с белым шумом u_n(t):

 

,

 

Входное воздействие y(t) наблюдается на интервале времени T, обычно значительно большем, чем длительность сигнала t₀. Оптимальный приемник (рисунок), вырабатывающий оценку максимального правдоподобия, состоит из фильтра СФ, согласованного с сигналом, амплитудного детектора АД и устройства, определяющего координату абсолютного максимума напряжения на выходе на интервале Т [1].

 

 

 

Моделирование фильтрации и детектирования, как правило, выполняют на основе метода комплексной огибающей [2], поскольку имитация сигналов на несущей (промежуточной) частоте f₀ потребовала бы порядка 2f₀T отсчетов сигнала равна П, то метод огибающей позволяет уменьшить число отсчетов до 2ПТ. Выигрыш в объеме вычислений определяется отношением f₀/П и достигает десятков или даже сотен раз.

В работе имитируется сигнал без внутриимпульсной модуляции с «колокольной» (гауссовской) огибающей

 

 

Сигнал воспроизводится в пределах , следовательно параметр имеет смысл его полной длительности. Параметр , входящий во второе из этих выражений, является наиболее распространенным определением длительности «колокольного» импульса, определяемой по уровню

 

 

Если по этому же уровню определить и ширину амплитудного спектра этой огибающей, то оказывается . Этим и объясняется общепринятость такого определения . Естественно параметры и связаны между собой и их связь устанавливается, как легко видеть, соотношением

 

 

Значение огибающей «на границах» сигнала

 

 

составляет всего 1% от максимального значения S₀. При таком достаточно полном воспроизведении сигнала его параметры (эффективные длительность и ширина спектра, энергия и др.) могут вычисляться без учета ограничения физической длительности. Например, энергия может быть определена по формуле

 

,

 

расширение пределов интегрирования в которой до бесконечных существенно упрощает результат. Аналогично можно определить нормированную автокорреляционную функцию сигнала

 

,

 

Откуда легко находится эффективная ширина спектра

 

.

 

При имитации белого шума, имеющего, как известно, бесконечную дисперсию, дискретный эквивалент представляется [3] последовательностью гауссовских некоррелированных чисел с дисперсией , где N₀ – спектральная плотность мощности помехи u_n(t).

Обработка смеси сигнала с шумом приводит к образованию на выходе АД напряжения, подчиняющегося обобщенному распределению Релея. Огибающая нормированной корреляционной функции шума на выходе СФ совпадает с корреляционной функцией сигнала , что является следствием согласованной фильтрации. С помощью приведенных выше выражений, можно записать

 

.

 

Если, по аналогии с определением полной длительности сигнала , пренебречь корреляцией значений шума, когда , то интервал корреляции . При прохождении шума через детектор происходит некоторое расширение его спектра и, следовательно, уменьшение интервала корреляции. Поэтому в качестве оценки интервала корреляции шума на выходе АД примем значение .

В работе изучаются ошибки измерения временного положения сигнала (ИВПС) трех видов:

– нормальные ошибки, вызванные действием шума;

-аномальные ошибки;

-ошибки, обусловленные дискретизацией сигнала.

Соответствующей манипуляцией параметров модели значения отдельных составляющих ошибки могут быть сделаны незначительными, что позволяет изучать влияние оставшихся компонентов.

Из трех перечисленных типов ошибок здесь остановимся подробно на аномальных в силу их особенной специфики, а также определенной сложности регистрации в эксперименте. Как известно [1], они возникают при слабом сигнале, когда выбросы шума на выходе АД (см.рисунок) могут превысить значение смеси сигнала с шумом. В этих случаях результат измерения t₀ существенно отличается от t_0, что и оправдывает название таких ошибок. Очевидно, что – равномерно распределенная на интервале (0,Т) случайная величина с математическим ожиданием Т/2 и дисперсией Т² /12.

 

(1)

 

 

Выражение (1) определяет условную дисперсию ошибок- при условии, что аномальное измерение состоялось. Безусловная дисперсия ошибок с учетом альтернативного результата определяется формулой

 

(2)

 

В которой

 

(3)

 

- дисперсия нормальных измерений (потенциальная точность);

- отношение сигнал/шум (ОСШ);

- вероятность возникновения аномального результата.

Для ее нахождения разобьем интервал Т на М=ЕП_э/2,5 подынтервалов длиной , приближено определяющей длительность интервала корреляции выходного шума. Последнее дает возможность рассматривать отсчеты шума из различных подынтегралов как независимые, что существенно облегчает анализ аномальных измерений.

Введем локальную вероятность аномального измерения - вероятность того, что при сравнении напряжения смеси сигнала с шумом и произвольного отсчета шума последний окажется больше. При релеевских распределениях этих отчетов нетрудно получить формулу [1]:

 

Полную вероятность аномального измерения в силу некоррелированности отчетов шума, отстоящих на интервал 2,5/П_э , приближенного определим выражением

 

 

Представляя (1) и (3) в (2) и переходя к относительной ошибке , получим

 

 

Величина характеризует меру увеличения ошибок (по отношению к нормальным), вызванного аномальными измерениями. Непосредственное измерение дисперсии (или нормированной дисперсии ) в эксперименте затруднено следующими обстоятельствами.

Обычно интересуется зависимостью (или ) от ОСШ . Располагая этой зависимостью, можно определить пороговое значение ОСШ, при превышении которого обеспечивается нормальный режим измерения. При уменьшении в процессе получения этой зависимости вклад второго слагаемого в (2) возрастает из-за увеличения .Причем при достаточно больших значениях (пропорционально, согласно ) величина этого вклад оказывается доминирующей в (2) уже при весьма малых значениях . Следовательно, среднее число экспериментов , в которых наблюдаются аномальные результаты, оказывается существенно меньше общего числа экспериментов N. Для получения статистических достоверных результатов измерения требуется, чтобы объем эксперимента оказывается непосильным даже для ПЭВМ с высокой производительностью. Как показывает более тонкий количественный анализ, зависимости (или ) от , при котором в эксперименте измеряется зависимость от , а с ее помощью зависимость от определяется расчетным путем по формуле (4).

При экспериментальном определении вероятности аномального измерения требуется классифицировать результат обработки каждой реализации в приемнике, как нормальной или аномальной, если

 

, (5)

 

Что обусловлено следующими соображениями. Полная длительность полезного сигнала (“по нулям”) на входе СФ и АД (см. рисунок) составляет , следовательно, его влияние на выходное напряжение АД проявляется в пределах этого временного интервала. Поэтому появление оценки в пределах указанного промежутка не относятся к числу аномальных результатов. Следовательно, аномальными признаются те оценки, которые отвечают условию (5).

Известно. Что дисперсия статистического измерения вероятности определяется формулой

 

Откуда необходимый объем статистического эксперимента

 

 

Где - относительная дисперсия измерения вероятности .