Независимость случайных величин и математические операции над случайными величинами (САМОСТОЯТЕЛЬНО)

 

Введем понятие независимости случайных величин.

Если рассматривать не одну, а две или более случайных величин (системы случайных величин), то необходимо знать, изменяется или не изменяется закон распределения одной из них в зависимости от того, какое значение принимают другие случайные величины.

Если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то такие случайные величины называются независимыми в совокупности.

Если закон распределения одной случайной величины зависит от того, какие возможные значения приняли другие случайные величины, то такие случайные величины называются зависимыми в совокупности.

Например, Вы купили два лотерейных билета различных выпусков. Пусть Х - размер выигрыша на первый билет, а У - размер выигрыша на второй билет. Случайные величины Х и У - независимые. В самом деле, если на первый билет выпал выигрыш, то закон распределения У не изменится. Но если купленные лотерейные билеты одного и того же выпуска, то Х и У являются зависимыми случайными величинами.

Пусть случайная величина Х принимает значения: х₁, х₂,..., х_n с вероятностью р₁, р₂,..., р_n, а случайная величина У принимает значения y₁, y₂,..., y_m с вероятностями q₁, q₂,..., q_m.

Определим некоторые операции над случайными величинами.

1. Произведение случайной величины Х на постоянную величину С есть случайная величина СХ, которая принимает значения Сх₁, Сх₂,... Сх_п с теми же вероятностями, что и случайная величина Х.

2. Квадрат случайной величины Х, то есть Х² - это случайная величина, которая принимает свои значения х , х ,..., х с теми же вероятностями, что и случайная величина Х.

3. Суммой случайных величин Х и У называется случайная величина Х+У, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением У, а вероятности возможных значений Х+У для независимых величин Х и У равны произведению вероятностей слагаемых; для зависимых величин - произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

4. Произведением независимых случайных величин Х и У называется случайная величина ХУ, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение У, а вероятности возможных значений произведения ХУ равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.