Задача №11

Учитывая движение ядра атома водорода и боровское условие квантования, найти: 1) возможные расстояния между электроном и ядром; 2) возможные значения полной кинетической энергии; 3) энергию связи электрона; 4) на сколько процентов отличается энергия связи и постоянная Ридберга, полученные без учета движения ядра, от соответствующих уточненных значений этих величин.

Пусть R и r – расстояния, соответственно от ядра и электрона до общего центра вращения. Тогда согласно 2-му Закону Ньютона

, (17)

, М и m – массы ядра и электрона, соответственно, v_Я и v_е – их скорости, а – расстояние между ядром и электроном, равное R + r.

Согласно правилу квантования Бора

, где n = 1,2,3…,

где L – момент импульса, равный в данном случае,

,

тогда

. (18)

Используя связь линейной и угловой скорости

,

перепишем (17) в следующем виде

(19)

или

Подставляя, полученные выражения в (18), получим

.

Отсюда

.

Подставив найденное выражение для w в (19) найдем выражения для R и r

, .

Отсюда

,

где – приведенная масса.

Полная кинетическая энергия атома водорода в данном случае будет складываться из кинетической энергии вращательного движения ядра К_Я и электрона К_е

.

Подставляя сюда выражение, найденное выше для а, получим

.

Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергий

.

Тогда выражение для энергии связи (n = 1) будет иметь следующий вид:

,

где – уточненное выражение для постоянной Ридберга.

Сравнивая полученные выражения для постоянной Ридберга R и энергии связи Е_св с аналогичными выражениями, полученными нами ранее, но без учета движения ядра (т.е M = ¥), можно видеть, что

.

Подставляя численные значения, оказывается, что разница составляет 0,055%. Несмотря на столь малое различие, его удается зафиксировать с помощью современных спектральных приборов.