Кривые Безье.

В общем случае, кривая Безье задается векторным уравнением

(10) , где , ,

а - вершины так называемого определяющего многоугольника.

Кривые Безье названы в честь предложившего их французского ученого П. Безье (Bezier).

Кривые Безье обладают следующими свойствами:

1) Степень кривой N на единицу меньше числа вершин определяющего многогранника. Для двух точек кривая Безье превращается в отрезок прямой.

2) Начинается в точке и заканчивается в точке .

3) Вектор сонаправлен с вектором касательной к кривой в ее начальной точке . Вектор сонаправлен с вектором касательной к кривой в ее конечной точке .

4) Целиком лежит внутри выпуклой оболочки определяющего многоугольника.

 

Для нас наибольший интерес представляет частный случай кривой Безье – кривая Безье третьей степени (кубическая), создаваемая по четырем точкам. При N =3 выражение (10) примет вид:

(11) , ,

 

Кубические кривые Безье можно использовать в задачах сплайновой интерполяции для представления сегментов, если считать точки и узлами интерполяционного сплайна, а точки и - управляющими точками сегмента.

Для построения цепочки кубических сегментов Безье используется метод

Graphics.DrawBeziers(Pen, Point[]). Для задания N сегментов требуется 4 + 3N точек, т.к. последняя точка любого внутреннего сегмента является первой следующего. Непрерывность касательной вдоль всего сплайна в этом методе не обеспечивается. Чтобы обеспечить непрерывность касательной, следует подбирать управляющие точки таким образом, чтобы каждый внутренний узел сплайна был серединой отрезка, соединяющего контрольную точку предыдущего сегмента и контрольную точку следующего сегмента.