Однородные системы с постоянными коэффициентами.

Система является определенной, т.е. имеет единственное решение, если D ¹ 0.

Система всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, поэтому, чтобы получить ненулевое решение потребуем D = 0.

D = det (A – k × E) = 0 – характеристическое уравнение исходной системы.

1 случай:

k ₁, k ₂, …, k_n – различные и вещественные корни характеристического уравнения. С помощью k ₁ из системы (1) получаем решение:

Аналогично получаем x ₂, x ₃, …, x_n. Общее решение системы:

Пример:

2 случай:

k ₁, k ₂, …, k_n – различные, но среди них есть комплексные (могут быть все комплексные).

Очевидно, что x ₁ и x ₂ – комплексно-сопряженные (их вещественные и мнимые части равны), поэтому можно рассматривать один корень и, складывая отдельно вещественные, отдельно мнимые части, получить искомые решения.

Пример:

Системы дифференциальных уравнений.

Данная система записана в нормальном виде.

Метод исключения.

1. Получим систему в виде:

2. Из первых (n – 1) уравнений полученной системы выразить x ₂, x ₃, …, x_n и подставить в последнее уравнение.

3. Решить полученное уравнение (после его решения мы найдем x ₁)

4. Найти x ₂, x ₃, …, x_n, пользуясь соотношениями из второго пункта.

Пример:

Пример:

Однородные системы с постоянными коэффициентами.

Система является определенной, т.е. имеет единственное решение, если D ¹ 0.

Система всегда имеет тривиальное (нулевое) решение, поэтому, чтобы получить ненулевое решение потребуем D = 0.

D = det (A – k × E) = 0 – характеристическое уравнение исходной системы.

1 случай:

k ₁, k ₂, …, k_n – различные и вещественные корни характеристического уравнения. С помощью k ₁ из системы (1) получаем решение:

Аналогично получаем x ₂, x ₃, …, x_n. Общее решение системы:

Пример:

2 случай:

k ₁, k ₂, …, k_n – различные, но среди них есть комплексные (могут быть все комплексные).

Очевидно, что x ₁ и x ₂ – комплексно-сопряженные (их вещественные и мнимые части равны), поэтому можно рассматривать один корень и, складывая отдельно вещественные, отдельно мнимые части, получить искомые решения.

Пример: