Преобразование координат при линейных операциях над векторами

Пусть в некотором линейном пространстве векторы , ,…, образуют базис и заданы 2 вектора и . С учетов 8 свойств линейных операций над векторами выполнены равенства , , . Итак, при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при вычитании векторов их соответствующие координаты вычитаются, при умножении векторов на число их соответствующие координаты умножаются на это число.

Как найти длину вектора и как охарактеризовать направление вектора? Пусть в реальном пространстве задан вектор , тогда его длина может быть найдена по формуле . Направление вектора удобно характеризовать направляющим вектором единичной длины с тем же направлением. Этот вектор обычно записывают в виде , где - углы между вектором и осями координат. Сами величины называются направляющими косинусами вектора .

Если рассматриваются векторы на плоскости, то все формулы формально остаются справедливыми – просто в них исчезает третья координата. Уточним обозначения.

Пусть на плоскости задан вектор , тогда его длина может быть найдена по формуле . Направление вектора удобно характеризовать направляющим вектором единичной длины с тем же направлением. Этот вектор обычно записывают в виде , где - угол между вектором и осью абсцисс.