Численное интегрирование траекторий и проверка сохранения величин

Уравнения движения в механике – пример математического описания: одномерная задача как самый простой случай – пример падения тела вниз под действием силы тяжести, тормозимого силой сопротивления воздуха

mΔv/Δt = mg – k v²

Что с ними можно делать?

Самый универсальный подход – решить численно в приращениях, организовав алгоритм, в котором последующее состояние вычисляется по предшествующему.

v_i+1 = v_i + F(x_i,v_i,t_i) Δt/m; x_i+1 = x_i + v_i Δt

Возможности увеличения точности – уменьшение приращения и/или корректировка приближенных формул за счет экстраполяции значений от начала интервала в середину (в последней формуле вместо v_i использовать v_i + a_i Δt/2) или специально подбираемую точку

 

+ в некоторых случаях можно найти комбинацию величин, которая сохраняется

Уравнение движения из примера с падением с высоты

mΔv/Δt = mg – k v²

Это уравнение можно преобразовать так, чтобы правая и левая часть зависели каждая только от одной переменной

Δv/(g – k/m v²) = Δt

Правая часть зависит только от скорости, а левая – только от времени (такое преобразование в уравнениях называют разделением переменных).

Другой способ разделить переменные в этом уравнении – это выразить Δt через v и Δx (тогда одна часть уравнения будет зависеть от скорости, а другая – от координаты).

Рассмотрим общий случай уравнений такого рода

q(v)Δv = f(t)Δt

В данном случае q(v) = 1/(g – k/m v²), а f(t) = 1.

Эти функции можно представить графически: f(t) – постоянная функция, при любых значения аргумента t, равная 1; q(v) = 1/g при v = 0, а затем возрастает, формально обращаясь в бесконечность при v² = g m /k, т.е. максимальная скорость v_m = (g m /k)^1/2

Уравнение q(v)Δv = f(t)Δt выражает равенство площадей для полоски толщиной Δt под графиком f(t) и полоски толщиной Δv под графиком q(v). Пользуясь этим уравнением, при заданном Δt получим соответствующее ему Δv графически из равенства площадей полосок или аналитически Δv = Δt f(t)/q(v).

Таким способом, задавая цепочку последовательных изменений Δt, можно определить всю цепочку последовательных изменений Δv. Например, удобно проводить вычисления, разделяя время на равные интервалы Δt (как и при численном интегрировании выше). Тогда получим зависимость v(t). Аналогично можно считать равными Δv и тогда получить цепочку последовательных значений Δt (это способ получить зависимость t(v), т.е. функцию обратную v(t) в предшествующем варианте вычислений).

При конечных приращениях неизбежна неточность вычислений в силу различий значений q(v) и q(v + Δv) (и аналогично для функции f в общем случае, хотя в данном случае постоянной функции этого различия нет). Но при достаточно малых приращениях (т.е. пределе малых приращений) получим (с любой требуемой точностью) площади под графиками q(v) и f(t).

Еще один вариант использовать зависимости как графические, это расчет скорости при заданном времени (или наоборот). Равные соответствующие пары полосок для всех приращений, а значит, равны и общие площади. Это позволяет использовать следующий практический способ. Надо построить графики на бумаге равной толщины. Площадь всех при заданном интервале определим взвешивание. Отрежем кусочек, начиная с исходного значения. Если оказался маленьким, то дорезаем еще, если велик, то отрезаем лишнее. В результате найдем значение скорости, при котором площади равны, т.е. решим задачу по определению скорости при заданном времени.

= интегрирование методом площадей («ножницы и бумага»)

Аналитическая интерпретация этих действий состоит в следующем.

Определяем функции Q(v) и F(t), обладающие тем свойством, чтобы при малых приращениях и любых значениях аргумента были выполнены равенства

q(v)Δv = Q(v + Δv) – Q(v)

f(t)Δt = F(t + Δt) – F(t)

Затем задаем последовательность приращений значений Δt при изменении времени от начального момента до конечного (от t_A до t_B) и составляем парные равенства вида

Q(v + Δv) – Q(v) = F(t + Δt) – F(t)

По приращениям Δt определяем соответствующие приращения скорости (в общем случае также будут различающимися). Для установления соответствия удобно использовать индексы при приращениях (один и тот же индекс отвечает соответствующим приращениям) Каждому приращению отвечает свое значение индекса i: от 1 до n, начальный момент – индекс A, конечный B (тогда удобно описывать самый общий случай, если приращения различаются).

Тогда получаем последовательность равенств

Q(v_A + Δv₁) – Q(v_A) = F(t_A + Δt₁) – F(t_A)

Q(v_A + Δv₁ + Δv₂) – Q(v_A + Δv₁) = F(t_A + Δt₁ + Δt₂) – F(t_A + Δt₁)

…

Q(v_B – Δv_n) – Q(v_B– Δv_n– Δv_n–1) = F(t_B – Δt_n) – F(t_B Δt_n – Δt_n–1)

Q(v_B) – Q(v_B – Δv_n) = F(t_B) – F(t_B – Δt_n)

 

Суммирование этих парных равенств дает результат

Q(v_B) – Q(v_A) = F(t_B) – F(t_A)

При заданном исходном состоянии, т.е. значениях v_A и t_A, можно определить из этого уравнения значение v_B при любом t_B, в частности, получить траекторию движения в целом, определяя скорости в любые промежуточные и конечные моменты времени.

Зная функции Q и F, решения будут определены аналитически (или графически как выше – методом ножниц и бумаги).

Для практического осуществления вычислений такого рода требуется находить функции Q и F при заданных функциях q и f.

Удобно вычислять в обратном порядке (т.е. определять функции)

Удобнее решать обратную задачу, т.к. определение связи позволяет рассчитать функцию f по ее заданной первообразной F (и аналогично q через Q).

Для удобства вычислений составляют таблицы пар (функция и ее первообразная), а затем находят нужное соответствие, т.е. интегралы (первообразные) Q и F для конкретных q и f. По этому принципу и построена таблица неопределенных интегралов, т.к. по определениям связей (в парах q(v), Q(v) и f(t), F(t)) выше f(t) – это производная от F(t), а F(t) – это интеграл от f(t) и аналогично в паре q(v), Q(v).

(М) Правило вычисления в пределе малых величин: упростить вычисляемое выражения до сокращения Δt, а затем принять Δt = 0 (до этого оставлять столько слагаемых с увеличивающимися степенями Δt, сколько потребуется в вычислениях). /при отсутствии опыта таких вычислений можно оставлять несколько первых слагаемых (сколько удобно), а затем убирать лишнее или добавлять недостающее, при необходимости восстанавливая вычисления. Примеры таких расчетов по формуле

f(t) = [F(t + Δt) – F(t)]/Δt

F(t) = a => f(t) = [a – a]/Δt = 0

F(t) = t² => f(t) = [(t+ Δt)² – t²]/Δt = 2t + Δt = 2t

F(t) = tⁿ => f(t) = [(t+ Δt)ⁿ – tⁿ]/Δt = [ⁿ (t+ Δt)(t+ Δt)…(t+ Δt) – tⁿ]/Δt = nt^n–1 + Δt (…) = nt^n–1

определение числа e как математической постоянной

(O) e ^Δt = 1 + Δt => ln (1 + Δt) = Δt

=> e = (1 + Δt) ^1/Δt= (1 + 1/n) ⁿ (привычное определение числа e), если Δt → 0 (П) Δt = 1/n (n → ∞)

F(t) = e ^t => f(t) = (e ^{t + Δt} – e^t)/Δt = e ^t (e ^Δt – 1)/Δt = e ^t

F(t) = ln t => f(t) = [ln(t + Δt) – ln(t)]/Δt = [ln(1 + Δt/t)]/Δt = 1/t

Упражнение: F(t) = a^t =>…