Интегрирующий множитель

Пусть для уравнения (1)

не выполняется условие , т.е. .

Иногда удается подобрать такую функцию , после умножения на которую всех членов уравнения (1), левая часть уравнения становится полным дифференциалом. Общее решение полученного уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения. Функция называется интегрирующим множителем уравнения (1).

Найдем формулы, по которым можно вычислить интегрирующий множитель. Умножим обе части уравнения (1) на множитель :

Для того, чтобы это уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия

т.е.

или

Разделим обе части этого равенства на , получим

(2)

Всякая функция , удовлетворяющая уравнению (2), является интегрирующим множителем уравнения (1).

Уравнение (2) является уравнением в частных производных с неизвестной функцией , зависящей от двух переменных х и у.

Задача нахождения из уравнения (2) не из легких. Только в некоторых частных случаях удается найти функцию .

Пусть - интегрирующий множитель, который зависит только от у, тогда .

Из уравнения (2) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение , из которого определим , а затем .

Его можно решить, если только выражение зависит только от у.

Аналогично, если - интегрирующий множитель, зависит только от х.

Из уравнения (2) получим уравнение

Решаем его, если выражение зависит только от х.

Пример. Г.Н. Берман № 4061

Выражение не подходит

Выражение подходит

Умножим обе части данного уравнения на

Новое уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.

Общее решение данного уравнения