Свободные колебания в RLC контуре

 

Цель работы:

* Знакомство с моделью свободных колебаний в последовательном RLC-контуре.

* Экспериментальное исследование закономерностей свободных незатухающих и затухающих колебаний.

* Экспериментальное определение характеристик затухания в RLC-контуре.

Основные понятия:

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

(1)

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду, если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q(t):

(2)

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

(3)

Здесь принято обозначение: Уравнение (3) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания.

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

q(t) = q₀cos(ωt + φ₀) (4)

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

(5)

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

(6)

Все реальные контура содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рисунок 2).

Рисунок 2 Затухающие колебания

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – dυ. Коэффициент d в этой формуле аналогичен сопротивлению R в электрическом контуре. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(7)

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

, (8),

где -амплитуда затухающих колебаний, - начальная амплитуда.

Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени , (9)

в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

Для характеристики степени затухания в контуре, кроме величины δ, вводят понятие логарифмического декремента затухания q. Он равен натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд (отстоящих во времени на один период)

, (10)

, (11)

. (12)

Добротность Q колебательной системы вычисляется:

Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Следует отметить, что собственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5 – 10) этим различием можно пренебречь.

Расчетные формулы:

- период незатухающих колебаний,

- период затухающих колебаний,

- время затухания,

- логарифмический декремент затухания,

добротность RLC-контура: ,

,

Перейдите от окна теории к окну модели, щелкнув по изображению «Модель. Свободные колебания в RLC-контуре». Внимательно рассмотрите рисунок, найдите все регуляторы и другие основные элементы.

 

Нажмите кнопку «Старт».Пронаблюдайте картину затухающих колебаний в RLC-контуре. Установите значение R=0. Пронаблюдайте картину незатухающих колебаний. Получите у преподавателя допуск для выполнения измерений.

Порядок измерений и обработка результатов:

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Определение периода затухающих и незатухающих колебаний.

1. Установите значение L и C, соответствующее вашей бригаде. Установите значение R=0.
2. Выберите график Q(t) (для бригад 1-4), выберите график I(t) (для бригад 5-8), нажмите кнопку «Старт». Нажимая кнопку «Стоп», засеките время n полных колебаний, где n=1 - 7.
3. Рассчитайте период колебаний для каждого значения n. Вычислите среднее значение периода.
4. Рассчитайте период колебаний, исходя из параметров RLC-контура .
5. Сравните значения периода, полученные в пп. 3 и 4 со значением периода, выведенным на экране.
6. Повторите измерения и расчеты пп. 2-5 для незатухающих колебаний, установив значение R, соответствующее вашей бригаде.

ТАБЛИЦА 1. Параметры RLC-контура (не перерисовывать)

Бригада
L [мГн]
C [мкФ]
R[Ом]

ТАБЛИЦА 2. Результаты измерений при L= ____ мГн, C = ____ мкФ, R=0 Ом.

n	ti, с	, с
		T ср =____с

= ____ с, T _изм= ____ с

ТАБЛИЦА 3. Результаты измерений при L= ____ мГн, C = ____ мкФ, R=____ Ом.

n	ti, с	, с
4
5
6
7
		T ср =____с

t = ____ с, = ____ с, T _изм= ____ с

ЭКСПЕРИМЕНТ 2 Определение логарифмического декремента затухания.

1. Выберите график q(t).
2. Запишите значение . Измерьте с помощью линейки (или нажимая кнопку «Стоп») амплитуду колебаний через n=3 полных колебаний .
3. Рассчитайте логарифмический декремент затухания .
4. Повторите измерения пп. 2-3 еще 3 раза.
5. Рассчитайте среднее значение логарифмического декремента затухания.
6. Рассчитайте логарифмический декремент затухания по формуле .
7. Сравните полученные результаты.

ТАБЛИЦА 4. Логарифмический декремент затухания

=

 

 

ЭКСПЕРИМЕНТ 3 Определение добротности контура.

1. Определите начальную энергию RLC-контура W₀, нажмите кнопку «Старт». Нажимая кнопку «Стоп», определите энергию через одно полное колебание W₁.
2. Рассчитайте потерю энергии за один период .
3. Рассчитайте добротность .
4. Повторите измерения полной энергии через период W₂, W₃, W₄, W₅, каждый раз вычисляя потерю энергии за период и добротность
5. Рассчитайте среднее значение Q.
6. Сравните полученный результат с результатом расчетной формулы .
7. Вычислите добротность контура по формуле

ТАБЛИЦА 5. Добротность контура

№	Wn-1	Wn
				Qср

 

 

Лабораторная работа №4