Вынужденные колебания гармонического осциллятора.

где F₀ - амплитудное значение действующей силы;

w - частота вынуждающей силы.

 

4

где F₁ - возвращающая сила, F = - kx;

F₂ - сила сопротивления, F = - rv (при малых значениях v);

F₃ - вынуждающая сила, F = F₀×sinwt.

Неоднородное, линейное дифференциальное, второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного.

ОН=ОО+ЧН

x_o и j_o – постоянные, определяющиеся начальными условиями

 

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения по виду правой части:

x₂=a cos(wt-j)

a-?

j-?

 

 

Частное решение неоднородного уравнения

 

 

 

А его общее решение будет таким:

 

 

С течением времени t e^-bt®0 и первое слагаемое ®0 и общее решение становится равным второму слагаемому – установившиеся колебания

 

Анализ:

 

1. гармонические колебания происходят с частотой w равной частоте вынуждающей силы

2. амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей силы,

3. параметров колебательной системы , свойств среды .

4. и соотношение частот вынуждающей силы и собственной частоты

5. фаза вынужденных колебаний отстает от фазы вынуждающей силы на

 

Резонанс

а=j(w)

 

Анализируем знаменатель дроби на минимум:

 

((w_о²-w²)²+4b²w²)¢=2(w_о²-w²)2w+4b²2w=

=4w(w_о²-w²)+8b²w=0

 

4w(w_о²-w² + 2b²)=0;

 

w=0 w²-(w_o²-2b²)=0;

 

w=0 не имеет физического смысла

Нет смысла и у выражения

 

А вот выражение

Представляет собой точку максимума амплитуды вынужденных колебаний – резонанс

 

Если затухание в среде мало то

Подставив в выражение для амплитуды вынужденных колебаний

резонансную частоту

 

Получим выражение для амплитуды колебаний при резонансе:

 

При - нет физического смысла

При наличии затухания

добротности колебательной системы