ТеоретическИе ОСНОВЫ РАБОТЫ

 

Рассмотрим точку, колеблющуюся с одинаковыми час-тотами во взаимно перпендикулярных направлениях. Пусть координаты и колеблющейся частицы изменяются по закону

,

(5.1)

.

 

Получим уравнение, описывающее поведение колеблю-щейся частицы. С учетом того, что разность фаз склады-ваемых колебаний , выражение (5.1) можно пред-ставить в виде

,

(5.2)

.

 

Выясним, какой вид имеет зависимость между коорди-натами и при таких колебаниях. Выразим и
через отношение амплитуд и координат.

Из (5.2) получаем:

 

(5.3)

 

(5.4)

 

Представим в эквивалентном виде:

 

(5.5)

 

Выражение для получим из (5.3):

 

. (5.6)

 

Подставим в (5.5) уравнения (5.3) и (5.6):

 

. (5.7)

 

Перенося слагаемые из правой части в левую, получим:

 

. (5.8)

 

Возведем в квадрат:

 

 

Преобразуем полученное выражение:

 

 

 

Окончательно получаем уравнение движения частицы:

 

(5.9)

 

Очевидно, что в рассматриваемом случае траекторией частицы будет являться эллипс, вид которого определяется разностью фаз и отношением амплитуд и (рис. 5.1).

 

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. . В этом случае , . Уравнение ко-лебания принимает вид

 

 

 

 

,

 

частица движется по прямой в первом и третьем квадрантах (рис. 5.2, а).

2. . При такой разности фаз , . С учетом знака уравнение колебания тоже описывает прямую

 

,

 

но частица движется по прямой уже во втором и четвертом квадрантах (рис. 5.2, б).

3. . В этом случае уравнение колебания принимает вид

 

,

частица движется по эллипсу, полуоси которого и совпадают с осями координат. При = эллипс превра-щается в окружность. Движение частицы по траектории бу-дет происходить в направлении часовой стрелки (рис. 5.2, в).

4. . То же самое, что и , так как изменение фазы на несущественно. Движение будет происходить по эллипсу, как и в случае 3, с той только разницей, что движение будет осуществляться против часовой стрелки.

 

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и соотносятся как целые числа, то траектория результирующего колебания имеет более сложную форму и носит название фигуры Лиссажу.

На рис. 5.3 показана фигура Лиссажу для соотношения частот . Фигуры Лиссажу для других соотношений частот представлены на рис. 5.8.

 

Фигуры Лиссажу очень удобно наблюдать на экране ос-циллографа, так как в этом случае можно рассматривать траектории, получающиеся при сложении колебаний, час-тоты которых соотносятся не как целые числа. Фигуры Лис-сажу при этом вращаются.

Полная энергия при сложении колебаний складывается из энергий каждого колебания:

 

,

 

или

 

. (5.10)