Способы исследования с применением моделей.

 

1. Исследования математических моделей

1.1. Приближённое решение уравнений.

1.2. Вероятностные модели.

1.3. Геометрические модели.

2. Исследование физических моделей.

3. Биологические модели развития популяций.

4. Геоинформационные модели.

5. Химические модели.

6. Оптимизационное моделирование.

7. Логические модели.

8. Информационные модели управления объектами.

 

Приближённое решение уравнений

 

На этапе системного синтеза создаётся формальное представление изучаемого объекта с помощью методов различных разделов математики. Одним из представлений является применение уравнений. Ввиду сложности реальных объектов уравнения или системы уравнений оказываются сложными, приходится применять численные методы приближённого решения с заданной точностью.

 

Пример. Найти приближённое решение уравнения x³/10-sinx=0 (x³/С-sinx=0)

 

Вероятностные модели

 

Вероятностные модели основываются на использовании больших серий испытаний со случайными параметрами. Точность полученных результатов зависит от количества проведённых испытаний. Рассмотрим вероятностную модель бросания монеты. Суть моделирования состоит в том, чтобы показать, что для симметричной монеты количество положений «аверс», в которых оказывается упавшая монета, равно количеству положений «реверс». При проведении испытаний можно видеть, что при увеличении количества подбрасываний монеты, количество выпадений «аверс» постепенно сближается с количеством выпадений «реверс».

 

Геометрические модели

 

Пространственные соотношения между реальными объектами (положение и ориентация объектов в пространстве, размеры объектов) изучаются с помощью геометрических моделей. Для визуализации геометрических моделей применяются геометрические элементарные объекты (точка, линия, плоскость, дуга окружности). В отличие от реальных объектов элементарные объекты обладают набором специальных свойств. Точка имеет координату на плоскости, но не имеет размеров. Линия не имеет ширины. Плоскость не имеет толщины. Для создания геометрических компьютерных моделей применяются САПР – системы автоматизированного проектирования.

 

Исследования физических моделей

 

При исследовании физических моделей применяются методы приближённого решения уравнений, которые представляют какой-то конкретный физический процесс. Например, уравнения, которые в математической форме представляют полёт тела, процесс нагревания тела или процесс охлаждения тела. В дальнейшем эти уравнения решаются с помощью специальных программ. Например, можно рассматривать полёт снаряда, который имеет определённую массу, выстреливается с определённой скоростью и под определённым углом. Цель моделирования – определение места падения снаряда.

 

Биологические модели развития популяций

 

Вариант 1

 

При исследовании развития биосистем строятся различные динамические модели изменения численности популяций различных живых существ (бактерий, рыб, волков, птиц и т.д.) с учётом различных факторов.

1.1. Простейшая модель - модель «неограниченный рост». В этом случае численность популяции увеличивается каждый год на определённый процент. Математическую модель можно представить в виде рекуррентной формулы, которая связывает численность популяции прошлого года с численностью популяции текущего года с использованием коэффициента роста - а.

x_n+1 = a*x_n

Например, если ежегодный прирост численности популяции составляет 5%, то коэффициент роста а = 1,05.

1.2. Следующий уровень – модель ограниченного роста, в которой учитывается эффект перенаселённости, связанный с нехваткой питания, болезнями, которые замедляют рост популяции. Коэффициент перенаселённости b < a. Численность популяции в текущем году

x_n+1 = (a - b*x_n)* x_n

1.3. Модель ограниченного роста с отловом учитывает в качестве сдерживающего рост фактора ежегодный отлов промысловых рыб и животных. Коэффициент отлова – с. Численность популяции в текущем году

x_n+1 = (a - b*x_n)* x_n – с

1.4. В природе существуют популяции двух видов, которые сосуществуют: популяции жертв и хищников (караси-щуки, волки-зайцы). В модели «хищник-жертва» количество жертв x_n и количество хищников y_n связаны между собой. Количество встреч хищника с жертвой пропорционально произведению количеств хищников и жертв - x_n* y_n. Вероятность гибели жертвы при встрече с хищником – f. Численность популяции в текущем году

x_n+1 = (a - b*x_n)* x_n – с – f* x_n *y_n

1.5. При недостатке жертв вследствие нехватки корма и болезней численность хищников уменьшается

y_n+1 =d*y_n

где d<1 – скорость уменьшения хищников.

1.6. При нормальных условиях питания для жертв численность хищников увеличивается пропорционально произведению численности жертв и хищников

y_n+1 =d*y_n + e* x_n *y_n

e – коэффициент, характеризующий рост численности хищников за счёт жертв.

 

Для проведения моделирования составляется компьютерная модель, т.е. программа, реализующая расчёт по представленным формулам. При исполнении программы задаются начальные значения популяций. Моделирование состоит в том, что программа запускается несколько раз с различными значениями коэффициентов роста и уменьшения количества жертв и хищников.

 

Вариант 2

Закон Мальтуса устанавливает соотношение между приростом и убылью живых организмов в зависимости от их количества.

Пусть количество живых организмов в год начала проведения расчётов – n₀.

Изменение количества живых организмов за один год:

Δn = kn₀ – qn₀ ²

k – коэффициент прироста,

q – коэффициент смертности.

Значения этих коэффициентов устанавливаются путём наблюдений.

Количество живых организмов:

- в конце первого года n₁ = n₀ + (kn₀ – qn₀ ²)

- в конце второго года n₂ = n₁ + (kn₁ – qn₁ ²)

…………………………

- в конце любого года i n_i = n_i-1 + (kn_i-1 – qn_i-1 ²)

 

Для определения количества живых организмов в популяции на основе закона Мальтуса можно применить табличный процессор Excel.