Решение этого уравнения можно записать в виде

 

a(t)=a_osin(w_o t +j_o), (5)

 

где a_o – амплитуда колебаний (максимальное отклонение);

w_o – собственная частота колебаний;

j_o -- начальная фаза колебаний.

Продифференцировав дважды уравнение (5) по времени и подставив в дифференциальное уравнение (4), получим соотношение

 

(J w_o²- mgl)a_osin(w _ot +j_o)=0,

 

которое удовлетворяется при условии J w_o²- mgl =0. Отсюда собственная частота колебаний физического маятника

(6)

 

Тогда уравнение движения можно записать в виде дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний

. (7)

 

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются из начальных условий. Если в начальный момент времени t =0 известны угол отклонения маятника от положения равновесия a(0) и угловая скорость движения маятника d a/ dt =w(0) (не путать угловую скорость движения маятника w с собственной частотой колебаний w_о!), имеем

a(0)=a_osinj_o и w(0)=w_oa_ocosj_o .

Решая эту систему уравнений, получаем a_o=(a²(0)+w²(0)/w_o²)^1/2 и j_o=arctg(w_oa(0)/w(0)). Отсюда находим, что, если в начальный момент времени маятник покоится w(0)=0 в положении a=a(0), то амплитуда равна начальному отклонению маятника a_о=a(0), а начальная фаза j_о=p/2. Решение дифференциального уравнения для таких начальных условий имеет вид a(t)=a_o sin (w_o t +p/2).

Таким образом, движение физического маятника в рассматриваемых условиях отсутствия трения и малой амплитуды представляет собой синусоидальные или гармонические колебания с периодом

 

. 8)

 

Если размеры тела малы по сравнению с длиной маятника l, то есть тело можно принять за материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити, то такой маятник является математическим маятником с периодом

. (9)

 

Здесь учли, что момент инерции материальной точки относительно оси J = ml ². Как видим из сравнения (8) и (9), в отличие от математического маятника, период колебаний которого зависит только от длины и ускорения свободного падения, период колебаний физического маятника зависит также от его массы и момента инерции. Каждому физическому маятнику можно подобрать такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника. Сопоставив (8) и (9) получим выражение для приведенной длины физического маятника

 

l _пр=(I_с + ml ²)/ ml. (10)

 

В отличие от математического маятника, зависимость периода колебаний которого от длины T ~ l ^1/2, для физического маятника, зависимость T(l) более сложная и представлена на рис.2.

Рис. 2. Зависимость периода колебаний физического маятника от длины.

 

Как следует из формулы (9), при l ® 0 период физического маятника

Т ® ∞, то есть, если ось вращения проходит через центр инерции, то маятник находится в состоянии безразличного равновесия. При увеличении l (когда выполняется условие ml² >> J_c)период колебаний физического маятника стремится к периоду колебаний математического маятника. Зависимость Т(l) имеет минимум при некотором значении l _min.

Измеряя зависимость T(l) и построив график, можно определить момент инерции физического маятника J_c и ускорение свободного падения g. Для этого при Т _мат> Т>Т _min находим два значения l_i и l_k, соответствующие одному и тому же периоду Т_i=T_k=T ( рис. 2). Применив формулу (8) можно
записать

, (11)

 

. (12)

 

Решая совместно систему уравнений (11) и (12) относительно величин J _c и g, получим

 

g =4p²(l_i+l_k)/ T ², (13)

 

J _c= ml_il_k. (14)