Уравнение ФренеляВ настоящем разделе будут получены соотношения, определяющие условия распространения плоских гармонических световых волн в анизотропной среде. Из первых двух уравнений Максвелла (2.8) для таких волн, исключая , получим . Отсюда, применяя известное тождество , получим , (2.12) что равносильно трем скалярным уравнениям в проекции на главные диэлектрические оси вида , (2.13) Рассмотрим вначале частные случаи. Пусть вектор совпадает по направлению с одной из координатных осей, например , т.е. . Следовательно, , . Тогда в системе уравнений (2.13) останется одно нетривиальное уравнение , откуда Следовательно, скорость распространения волны, поляризованной вдоль оси , . (2.14) Аналогично для скоростей распространения волн, поляризованных вдоль осей и , получим соответственно , . (2.15) Во всех рассмотренных случаях векторы и коллинеарны, направления распространения волнового фронта и потока электромагнитной энергии совпадают (), причем вектор находится в координатной плоскости, ортогональной оси поляризации волны. Скорости , называют главными скоростями распространения волны в кристалле. Важно отметить, что они не являются проекциями какой-либо иной скорости. Перейдем к рассмотрению общего случая. Разрешим уравнения (2.13) относительно : , (2.16) Умножим обе части уравнений (2.16) на и сложим для всех значений ; в результате получим , или, после сокращения на (), . Представим единицу в правой части в виде и, перенося ее в левую часть, будем иметь . Учитывая, что , и соотношения для главных скоростей , , получим окончательно . (2.17) Это уравнение называется волновым уравнением Френеля, оно позволяет определить скорость распространения волны в заданном направлении . Рассмотрим решение этого уравнения графическим способом. Из вида уравнения следует, что для каждого его решения существует решение . Мы будем считать два эти решения одним, так как отрицательные значения скорости соответствуют, очевидно, противоположному направлению движения. Покажем, что уравнение (2.17) имеет два действительных положительных решения. Для этого построим график функции , являющейся левой частью уравнения (2.17). В области , при условии (рис. 10), из графика получаем два корня уравнения (2.17): и . Таким образом, первый вывод, который следует сделать из нашего рассмотрения, следующий: в анизотропной среде в произвольном направлении могут распространяться две гармонические волны с фазовыми скоростями и . Прежде всего отметим, что обе эти волны линейно поляризованы. Действительно, заменив в (2.16) , , получим для составляющих вектора , (2.18) Подставив в (2.I8) , получим , а при . Легко видеть, что отношения и вещественны. А поскольку , вещественными будут и соответствующие отношения для векторов и . Из предыдущего раздела известно, что вещественность отношений компонент векторов и означает, что волны и линейно поляризованы. Докажем теперь, что векторы и этих волн взаимно ортогональны, для этого применим соотношение (2.12) к обеим волнам, заменив , , , умножив скалярно первое уравнение на , а второе на , после вычитания получим . (2.19) Правая часть полученного выражения, как нетрудно убедиться, равна нулю. Следовательно, если , то и,следовательно, векторы и , ортогональны. Для дальнейшего изложения необходимо определить так называемый принцип соответствия в кристаллооптике (его доказательство приведено, например, в работах [1, 2]). Сущность этого принципа заключается в следующем: если в любом выражении для кристаллооптики заменить все величины из первого рада (см. ниже) соответствующими величинами из второго ряда, и наоборот, то полученное выражение такие будет иметь правильный физический смысл. Два упомянутых ряда имеют вид С помощью принципа соответствия можно просто получить ряд полезных соотношений. В частности, из выражения (2.17) посредством указанной замены получим формулу Френеля для лучевой скорости волны, в которой направление луча задано единичным вектором : . (2.20) Это уравнение такие имеет два решения и относительно лучевых скоростей. Соответствующие отношения и можно найти по выражению, полученному из (2.18): , Отсюда аналогично, с помощью материальных уравнений , можно доказать, что отношения и вещественны, т.е. обе эти волны линейно поляризованы. Кроме того, из (2.19) с помощью принципа соответствия также получим, что векторы и этих волн поляризованы ортогонально друг другу. Таким образом, в общем случае в анизотропной среде вектор направления распространения волнового фронта и вектор направления распространения энергии не совпадают. Для каждого из этих направлений соответствующие уравнения Френеля определяют фазовые и лучевые и скорости волн, каждая из которых линейно поляризована и направления колебаний векторов и , в первом случае и векторов и во втором ортогональны друг другу. При этом открытым остается вопрос: каким образом относительно ориентированы векторы и и относительно : - векторы и ? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем разделе.
|