Метод Гаусса решения системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений относительно n неизвестных

Метод Гаусса — точный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений) состоит в том, что совместную систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (определитель матрицы системы отличен от нуля)

приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей

решение которой находят по рекуррентным формулам

В матричной записи это означает, что сначала (прямой ход метода Гаусса) элементарными преобразованиями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

 

а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась диагональная матрица

В результате получаем решение системы:

Опишем метод Гаусса последовательно.

Прямой ход

Рассмотрим расширенную матрицу системы

1-й шаг

Предположим, что a11 не равен 0.

Если это не так, и a11 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a11 не был равен 0. Это всегда возможно, т.к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна.

Элемент a11 (не равный 0) называется ведущим элементом.

Итак, a11 не равно 0.

Умножим первую строку на число и прибавим ко второй строке, затем умножим первую строку на число и прибавим к третьей строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i-й строке, для i=2, 3, …, n.

Получим на первом шаге:

 

2-й шаг

Предположим, что a(1)22 не равен 0.

Если это не так, и a(1)22 = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a(1)22 не был равен 0.

Здесь ведущий элемент a22 (е равный 0).

Умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке, затем умножим вторую строку на число и прибавим к четвертой строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем вторую строку на число и прибавляем к i-й строке, для i=3, 4, …, n.

Получим на втором шаге:

k-й шаг

Предположим, что a(k-1)kk не равен 0.

Если это не так, и a(k-1)kk = 0, переставим строки матрицы так, чтобы a(k-1)kk не был равен 0.

Ведущий элемент a(k-1)kk) не равный 0).

Умножим k-ю строку на число и прибавим к i-й строке, для i=k+1, k+2, …, n.

Выполнив n-1 шаг получим:

Прямой ход закончен. Заметим, что все элементы на главной диагонали отличны от нуля.

Обратный ход

1-й шаг.

Умножим последнюю строку на число и прибавим к предпоследней строке, затем умножим последнюю строку на число и прибавим к (n-2)-й строке, и т.д., т.е. последовательно умножаем последнюю строку на число и прибавляем к (n-i)-й строке, для i=1, 3, …, n-1.

Получим на первом шаге:

k-й шаг

Умножим k-ю строку на число и прибавим к i-й строке, для i=k-1, k-2, …, n-1.

Выполнив n-1 шаг получим:

Обратный ход закончен. Решение вычисляем по формулам: