Метод самосогласованного поля в теории сверхпроводников.

Будем использовать представление вторичного квантования.

; ;

(16)

(16а)

(16b)

В приближении БКШ

(17)

Боголюбов предложил заменить (17) на эффективный гамильтониан самосогласованного поля вида второго слагаемого (16а), в котором введено два самосогласованных поля. Первое соответствует приближению Хартри-Фока, является средним от . Второе определяется средним от . Это поле даст следующий вклад в потенциал взаимодействия:

(18)

где (19)

Таким образом было введено предположение о существовании ненулевого среднего поля вида (19), которое равно 0 для несверхпроводящих систем, так как оно не сохраняет число частиц.

Итак, рассмотрим эффективный гамильтониан:

(20)

Опустим здесь слагаемые, содержащие и поле Хартри-Фока, не имеющие отношения к сверхпроводимости.

Приведем (20) к диагональному виду применив канонически преобразования Боголюбова:

Тогда для и имеем уравнение:

(21)

и отсчитывается от уровня Ферми. Слагаемое было введено для того, чтобы явным образом учитывать постоянство числа частиц.

Будем искать решение (21) в виде плоских волн: ;

Система уравнений имеет решение, когда

(22)

При в энергетическом спектре имеется щель шириной 2 вокруг поверхности Ферми.

Можно получить, что:

(23)

График решения уравнения (23) часто называют параметром порядка сверхпроводника. Он пропорционален параметру порядка, введённому в теории Гинзбурга-Ландау.

введенное выражением (19) имеет смысл волновой функции куперовской пары (частицы с зарядом и движущейся со скоростью ).

Из-за наличия энергетической щели возбужденные состояния электронов становятся устойчивыми и соответствуют сверхпроводящему состоянию. Для их уничтожения надо затратить энергию, которая выделяется при «спаривании» электронов. Для спаренных электронов при малом электрическом токе процесс рассеяния энергетически невыгоден и будет запрещен, пока добавочная энергия электронов, связанная с током, будет меньше ширины щели.

То есть ток в сверхпроводнике создаётся «конденсатом куперовских пар». Условно можно представить, что кулоновские пары с зарядом и суммарным спином = 0, представляют собой частицы Бозе-Эйнштейна, которые подобны жидкому гелию. Но такое представление не совсем строго, потому что куперовские пары нельзя считать независимыми частицами, т.к. их размер много больше расстоянию между ними.

Сверхпроводящее состояние возникает только в таких металлах, для которых энергия электрон-фононного взаимодействия достаточно велика. С другой стороны, чем больше электрон-фононное взаимодействие, тем больше сопротивление металла в нормальном состоянии, так как при этом велика вероятность рассеяния электронов с испусканием и поглощением фононов. Этим качественно объясняется известный факт, что хорошие проводники (серебро, медь, золото) не переходят в сверхпроводящее состояние. Сильное электрон-фононное взаимодействие, приводящее к большому сопротивлению в нормальном состоянии, способствует образованию сверхпроводящего состояния, лишенного сопротивления.