Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
Две прямые, заданные уравнениями или пересекаются в точке Угол γ12 между пересекающимися прямыми определяется формулой При этом под γ12 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1, B1, C1, k1 и b1) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.
Эти прямые параллельны, если A1B2 − A2B1 = 0 или k1 = k2, и перпендикулярны, если A1A2 + B1B2 = 0 или .
Любую прямую, параллельную A1x + B1y + C1 = 0, можно выразить уравнением A1x + B1y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно
Если знак перед радикалом противоположен C1, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой. Для того, чтобы три прямые пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Если и , то прямые и перпендикулярны.
20. Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов S1 и :
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда s1 параллелен. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:.
Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями
Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .
Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим. Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е .. Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. 21. Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции 1.сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый 2.умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие единственный элемент из , обозначаемый .
При этом на операции накладываются следующие условия: 1. ., для любых (коммутативность сложения); 2. , для любых (ассоциативность сложения); 3.существует такой элемент , что д для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто; 4.для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента относительно сложения). 5. (ассоциативность умножения на скаляр); 6. (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор). 7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров); 8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
|