для нахождения максимального потока

Данные: транспортная сеть D, заданная матрицей пропускных способностей дуг.

Результат: максимальный поток в сети.

 

1. Построить произвольный поток φ на транспортной сети D (например, положить φ(u) = 0 для любой дуги u).

2. Просмотреть пути, соединяющие вход сети v₁ с выходом v_n. Если поток φ полный, то перейти к п.4.

3. В противном случае рассмотреть путь μ, соединяющий вход сети v₁ с выходом v_n, все дуги которого не насыщены. Построить новый поток φ´:

где . Повторить этот процесс до получения полного потока φ.

4. Присвоить целочисленные метки вершинам сети D и знаки «+» или «-» дугам по правилам:

· входу v₁ присвоить метку 0,

· если вершина v_i получила некоторую метку, а y - еще непомеченная вершина, то вершине y Гv_i, такой что φ((v_i,y))<c((v_i,y)) присвоить метку i, а дуге (v_i,y) – знак «+»; вершине y Г^-1v_i, такой, что φ((y,v_i))>0, присвоить метку i, а дуге (y,v_i) – «-». Остальные непомеченные вершины и дуги метки и знаки не получают;

· повторять процесс, описанный в предыдущем пункте до тех пор, пока не прекратится появление новых отмеченных вершин и дуг. Если в результате выполнения этого пункта вершина v_n не получит метки, то поток является максимальным. В противном случае перейти к п.5.

5. Рассмотреть последовательность отмеченных вершин λ=(v_n, v_i1, v_i2,…,v₁), каждая из которых имеет метку, равную номеру последующей вершины, и последовательность μ (не обязательно путь), соединяющих последовательные вершины из λ. Построить новый поток φ´:

Перейти к пункту 4.

 

Пример. Рассмотрим транспортную сеть D и полный поток φ, для которого = 14:

 

2 (1,+)

7 (8) 7 (7)

 

0(1,+) 5 (3,+) 6 (4,+)

1 4 (5) 3 6 (7) 1 (1)

 

3 (3) 10 (10) 0 (3) 13 (15)

 

4 (5,+) Рис. 1.

 

Присвоим вершине 1 метку 0, тогда вершине 2 присвоим метку (1,+), т.к. φ((1,2))<c((1,2)). Т.к. φ((2,5))=c((2,5)), то переходим к вершине 3, которой присвоим метку (1,+), затем вершине 5 – (3,+), вершине 4 – (5,+), вершине 6 – метку (4,+). Рассмотрим последовательность вершин λ=(6,4,5,2,1), и построим новый поток, величина которого равна 15.

 

2 (1,+)

7 (8) 7 (7)

 

0 5 6

1 5 (5) 3 7 (7) 1 (1)

 

3 (3) 10 (10) 1 (3) 14 (15)

 

4 Рис. 2.

Нетрудно заметить, что улучшить данный поток нельзя.