Приклад. Знайти алгебраїчні доповнення Л13, Л21, Л32. 2 3 4 -1

 

0 -1 1 3 2 -2 4 -12

Дано визначник

Знайти алгебраїчні доповнення Л₁₃, Л₂₁, Л₃₂.

2 3 4 -1

-1 1 -1 2

0 1 2 -2

2.►

Ч А

= -2 -12 = -14; А21 =-

= 2-1 = 1;

А32 =

 

Легко помітити, що використовуючи алгебраїчні доповнення елементів, формулу (2.1) можна записати у вигляді:

 

ч 1+2

1+3

А = а_п (^-1)¹⁺¹ М_п + «12 (^-1Р ^М12 + «13 (^-1Г' ^м13 = «11^А11 + «12^А12 + «13^А13.

 

Аналогічно можна одержати формули для розкладання визначника за елементами будь-якого рядка або стовпця.

Наприклад, розглянемо розкладання визначника за елементами 2-го ряд­ка. Відповідно до другої властивості визначників, при зміні другого й першого рядка матриці визначника місцями, маємо:

«11 «12

«21 «22 «23 «11 «12 «13 «31 «32 «33

«21 «22 «23 «31 «32 «33

 

Розкладемо отриману матрицю визначника за елементами 1-го рядка.

 

	«21	«22	«23
	«11	«12	«13
	«31	«32	«33
		«11	«12
Звідси А	=	«21	«22
		«31	«32

«

«11 «13 «31 «33

«11 «12 «31 «32

(2.2)

+ «

«32 «33

-«21М21 + «22М22 - «23М23 >

 

тому що визначники другого порядку у формулі (2.2) є мінори елементів «₂₁

^а22, ^а23.

Таким чином, Д = а₂₁ А₂₁ + а₂₂А₂₂ + а₂₃А₂₃, тобто ми одержали формулу для розкладання визначника за елементами 2-го рядка.

Аналогічно можна одержати формули для розкладання визначника за елементами третього рядка. Використовуючи першу властивість визначників (про транспонування), можна показати, що аналогічні розкладання справедливі і при розкладанні за елементами стовпців.

Таким чином, справедливе наступне визначення:

Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його рядка (або стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.

Це визначення справедливе й для визначників більш високого порядку.