ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

 

Так же, как и для случая первой производной, введем итерационный оператор разностей , определяемый с помощью выражения

 

(16)

Пример

.

Стоящие в правой части выражения (16) члены представляют собой биномиальные коэффициенты, которые представляются в общем виде с помощью выражения

.

(17)

Тогда формула для вычисления -ой производной кривой Безье запишется как

.

(18)

Доказательство формулы (18) очевидно и вытекает из многократного дифференцирования (15).

Запишем два важных частных случая формулы (18) для и :

(19)

и

.

(20)

Следовательно, -ая производная кривой Безье в крайних точках дуги зависит только от ближайших управляющих точек, включая саму крайнюю точку. Для очевидно, что векторы и определяют касательную в точке с параметром . В общем случае касательная в точке определяется вектором и первым вектором , отличным от . Таким образом, касательная в точке может быть определена даже в том случае, если касательный вектор равен нулю. Для другого конца дуги рассуждения аналогичны. На рис. 14.3 показаны примеры определения векторов первой и второй производных в начальной точке дуги кривой.

Рис. 14.3. - Определение векторов первой и второй производных