Гармоники и моды (типы) колебаний

На музыкальном инструменте струна закреплена с обоих концов, которые ограничивают возможные колебания и на которых во время колебаний расположены узлы. Струна, имеющая длину L, образует стоячую волну, длина которой равна удвоенной длине струны (длина волны = 2L), что демонстрируется на первом из рисунков следующей серии. При этом узлы расположены на концах струны, а пучность посередине между ними. Это одна из мод ("мода" - тип колебаний струны). Какие еще моды встречаются на струне, закрепленной с обоих концов? Ниже приводятся примеры таких стоячих волн.

 

Рисунки демонстрируют первые четыре моды колебаний идеальной* закрепленной струны (увеличено по вертикали).

 

В каком соотношении находятся моды колебаний? Частота колебаний волны равна отношению ее скорости к длине: f=v/длина волны. Таким образом, для струны длиной L, длины волн составят 2L, L, 2L/3, L/2, что можно записать так 2L/n, где n - номер гармоники.

 

Базовая частота или 1-я мода имеет частоту f₁= v/длина волны = v/2L

Частота 2-й гармоники f₂= v/l₂ = 2v/2L = 2f₁

Частота 3-й гармоники f₃= v/l₃ = 3v/2L = 3f₁

Частота 4-й гармоники f₄= v/l₄ = 4v/2L = 4f_1...

 

f_n= v/l_n = nv/2L = nf₁

 

Все волны движутся по струне с одинаковой скоростью, поэтому волны с различными длинами имеют разные частоты, как показано на рисунках. Мода самой нижней частоты (f ₁) называется базовой. Частота n -ной моды будет в n раз больше базовой. Все эти моды (как и звуки, которые они образуют) называются гармониками струны. Частоты f, 2f, 3f, 4f и т.д. называется последовательностью гармоник. Музыканты хорошо знакомы с этими последовательностями, особенно те, кто играют на натуральных горнах или знакомы с флажолетами. Если для примера мы возьмем базовую частоту соответствующую ноте С3, т.е. альтовой До (частота = 131Гц), то ее гармоники будут иметь высотности, показанные на следующем рисунке. Высотность нот дана в приближении до четверти тона. При этом октавы являются чистыми, а вот другие интервалы не совсем соответствуют равномерно темперированному строю.

 

Нотное написание первых 12-ти гармоник (флажолетов) на примере ноты До. При прослушивании звукового файла (записанного в форматах au и wav) обратите внимание на высотность звуков.

Седьмая и одиннадцатая гармоники приходятся почти посередине между нотами равномерно темперированного строя, поэтому обозначены с половинками диезов.

Вы сами можете получить эти звуки на струнах. Проще это сделать на басовых струнах гитары, виолончели или контрабаса *. Для этого коснитесь слегка струны в точке, которая отстоит на длину =1/n от ее конца (где n = 1,2,3 и т.д.), а затем проведите смычком. Или слегка коснитесь струны в точке, которая приходится на длину =1/n от ее конца, ударьте по струне недалеко от подставки и мгновенно отдерните прижатый палец. Благодаря касанию, в точке произойдет образование узла, который образует моду, имеющую узел в данной точке. Вы легко сможете найти на струне от двух до шести флажолетов (если Вы только что проделали этот эксперимент, то, наверное, обратили внимание, на то. что двенадцатый лад, отвечающий за получение октавы, расположен менее, чем на половине длины струны, поэтому то место, где Вы касались струны для получения 2-й гармоники, находится не совсем точно над этим ладом).

* "Идеальной" я называю струну, которая, обладая абсолютной гибкостью, позволяет оттягивать ее без усилий в любом месте. Но поскольку реальные струны обладают жесткостью, их рабочая длина (которую мы обозначали в формулах буквой L) немного меньше физической длины, и это одна из причин почему на басовых струнах применяется обмотка, а голая струна G (соль) классической гитары плохо строит в верхних позициях.