Теоретический материал. Рекуррентные соотношения

Рекуррентные соотношения

Пусть - произвольная числовая последовательность. Рекуррентным соотношением называется такое соотношение между членами последовательности, в котором каждый следующий член выражается через несколько предыдущих, т.е (1).

Последовательность задана рекуррентно, если для нее определено рекуррентное соотношение вида (1) и заданы первые l ее членов.

Самым простым примером рекуррентной последовательности является арифметическая прогрессия. Рекуррентное соотношение для нее записывается в виде: , где d – разность прогрессии. Зная первый элемент и разность прогрессии, и, используя данное рекуррентное соотношение, можно последовательно вычислить все остальные члены прогрессии.

Рассмотрим пример программы, в которой вычисляются первые n членов арифметической прогрессии при условии, что и .

static void Main()

{

Console.Write("a=");

double a = double.Parse(Console.ReadLine());

Console.Write("h=");

double d = double.Parse(Console.ReadLine());

Console.Write("n=");

int d = int.Parse(Console.ReadLine());

Console.WriteLine("a1="+ a); // вывели первый член последовательности

// организуем вычисление 2, 3, …,n члена последовательности

for (int i = 2; i <= n; ++i)

{

a += d; // для этого прибавляем к предыдущему члену значение d

Console.WriteLine("a{0}={1}", i, a); // и выводим новое значение а на экран

}

}

 

Результат работы программы: n состояние экрана

5 a1: 0.5

a2: 0.75

a3: 1.

a4: 1.25

a5: 1.5

 

Более сложная зависимость представлена в последовательности Фибоначчи: , . В этом случае каждый член последовательности зависит от значений двух предыдущих членов. Рассмотрим пример программы, в которой вычисляются первые n членов последовательности Фибоначчи.

 

static void Main()

{

int a1=1, a2=1, a3; //задали известные члены последовательности

Console.Write("n=");

int n = int.Parse(Console.ReadLine());

/ /вывели известные члены последовательности

Console.WriteLine("a1={0}\na2={1}",a1,a2);

/* Организуем цикл для вычисления членов последовательности с номерами 3, 4,…, n. При этом в переменной a1 будет храниться значение члена последовательности с номером i-2, в переменной a2 - члена с номером i-1, переменная а будет использоваться для вычисления члена с номером i. */

for (int i = 3; i <= n; ++i)

{

a3=a1+a2; //по рекуррентному соотношению вычисляем член последовательности

Console.WriteLine("a{0}={1}", i, a3); //с номером i и выводим его значение на экран

// выполняем рекуррентный пересчет для следующего шага цикла

a1 = a2; //в элемент с номером i-2 записываем значение элемента с номером i-1

a2 = a3; //в элемент с номером i-1 записываем значение элемента с номером i

}

}

 

Результат работы программы: n состояние экрана

5 a1: 1

a2: 1

a3: 2

a4: 3

a5: 5